По мере повышения порядка дифференциального уравнения, опи­сывающего переходные процессы системы автоматического регу­лирования, сложность построения переходных процессов возра­стает.

Однако для удобства оценки качества работы систем автома­тического регулирования путем построения переходных процес­сов целесообразно применение приближенных методов построе­ния переходных процессов. Одним из таких методов является метод, основанный на использовании обобщенных амплитудно-фазовых частотных характеристик замкнутых систем автомати­ческого регулирования.

Интегралу (715) с учетом выражения (716) и первой из фор­мул (700) можно придать вид

При подстановке р = i? в собственный оператор системы автоматического регулирования последний делится на действи­тельную часть (с членами, имеющими четную степень ?) и мнимую (с членами, имеющими нечетную степень ?). Поэтому обобщенная вещественная частотная характеристика х_ф(?) замкнутой системы регулирования имеет члены с четной сте­пенью о, а обобщенная мнимая частотная характеристика у_ф (?) — члены с нечетной степенью ?.

В связи с этим

Следовательно, сумма х_ф (?) sin ?t + у_ф (?) cos ?t является нечетной, и ее интеграл в пределах от —? до +? даст ноль, а выражение (884) получит вид

До возмущения при t ? —0 система автоматического регу­лирования двигателя находится в состоянии равновесия (рабо­тает на равновесном режиме) при ? = 0, поэтому при t ? —0

С учетом полученного выражения интеграл (885) можно пред­ставить в форме

Интегралы (886) и (887) свидетельствуют о том, что переход­ный процесс ? = f (t), возникающий в системе автоматического регулирования вследствие возмущения при t = 0, в течение всего переходного процесса (t > 0) полностью определяется веществен­ной или мнимой обобщенными частотными характеристиками зам­кнутой системы автоматического регулирования.

Переходные процессы систем автоматического регулирования при оценке их динамических качеств строятся, как правило, при типовых возмущениях. К числу таких возмущений относится сту­пенчатое возмущение (см. рис. 248, б). В этом случае при t ? —0 возмущения нет (?_в = 0); при t ? +0 возмущение ?_в = ?_в0 = = const [единичное ступенчатое возмущение определяется инте­гралом (707)]. Элементарная составляющая единичного ступен­чатого возмущения имеет вид

Элементарная составляющая переходного процесса, выражен­ная через амплитудно-фазовую частотную характеристику зам­кнутой системы автоматического регулирования и соответствую­щая этому элементарному единичному возмущению (888), может быть определена из соотношения

Для нахождения результирующего переходного процесса вы­ражение (889) следует проинтегрировать; тогда

Так как в соответствии с выражением (690)

Эти формулы показывают, что их интегральные функции яв­ляются четными (при смене алгебраического знака ? их алгебраи­ческий знак не меняется), поэтому результат подсчета не изме­нится, если вместо пределов интегрирования от -? до +? использовать пределы от 0 до +? и значение интеграла удвоить, т. е.

Таким образом, для построения переходного процесса системы автоматического регулирования можно воспользоваться веще­ственной или мнимой частотными характеристиками замкнутой системы автоматического регулирования.

По полученным результатам можно построить приближенную картину переходного процесса- Существует несколько методов решения этой задачи. На рис. 279 показан метод замены действи­тельной вещественной частотной характеристики х_w (?) = f (?) участками прямых, например 1—2, 2—3, 3—4 и т. д. с различными наклонами. В этом случае интеграл (892) определяют по участ­кам. Например, на участке 2—3 текущее значение х_w (?) находят из уравнения прямой линии

тогда интеграл (892) приводится к виду

Таким образом, искомый интеграл распадается на два инте­грала:

Так как t должно быть задано, второе слагаемое полученного выражения определяют обычным образом. В первом слагаемом в результате интегрирования появилась разность интегральных синусов

значения которых можно найти по графику (рис. 280).

Аналогично можно определить интегралы ?_1-2, ?_3-4, ?_4-5, ... и для других прямолинейных участков (см. рис. 279); тогда для выбранного значения времени t имеем ? = ?_1-2 + ?_2-3 + ?_3-4 + ?_4-5 + …

Число участков должно быть выбрано таким, чтобы значе­ние х_w (?) на последнем участке было достаточно малым и на по­следующих участках не превышало этого малого значения.

Изложенный способ прибли­женного расчета переходного процесса удобен тем, .что осво­бождает расчетчика от необхо­димости определения корней характеристического [уравне­ния, начальных условий и кон­стант интегрирования. Точ­ность расчета повышается по мере увеличения числа отрезков прямых, заменяющих вещественную частотную характеристику системы автоматического регулирования.

Расчет и построение переходного процесса с помощью веще­ственной (или мнимой) частотной характеристики системы авто­матического регулирования можно существенно облегчить при­менением типовых трапецеидальных частотных характеристик [11, 22, 24, 26]. При замене действительной вещественной частотной характеристики прямолинейными отрезками (см. рис. 279) вся площадь, заключенная между осями координат и частотной харак­теристикой, разбивается на ряд трапеций. В частном случае тра­пеция может принять вид треугольника.

Так, вещественная частотная характеристика, показанная на рис. 281, а может быть представлена в виде треугольника 3—5—4 и двух трапеций (4—6—7—1 и 2—9—8—1), причем ординаты треугольника, дающего избыточную площадь частотной харак­теристики, должны быть взяты с отрицательным знаком.

Пусть, например, один из участков вещественной частотной характеристики заменен отрезком прямой AВ (рис. 281, б), обра­зовавшим треугольник ОАВ. В этом случае, текущая высота тре­угольника, соответствующая частоте ?_; определяется соотно­шением

Если в полученное выражение ввести новое переменное

Интеграл h_? зависит только от одного параметра ?, поэтому значения его можно подсчитать заранее для определенных зна­чений ?. Эти значения сведены в специальные таблицы [11, 22, 26]. Наличие таких таблиц облегчает расчет ?_k для треуголь­ного участка частотной характеристики.

Аналогичным способом можно подсчитать интеграл примени­тельно к трапеции (рис. 281, в). Действительно, трапецию АВКО можно разделить на прямоугольник высотой ?x_w (?_m) и треугольник. В связи с этим интеграл (892) определяется в виде суммы двух интегралов:

Выражение (896) называют типовой трапецией (типовой тра­пецеидальной частотной характеристикой). Ее значение зависит только от выбора безразмерного времени (893) и коэффициента наклона ?. Если задаться значениями ? и ?, то величину h_?? соответствующую выбранным ? и ?, можно подсчитать заранее. Этим воспользовались для составления специальных таблиц зна­чений h_?? для различных сочетаний ? и ? [11, 22, 26]. Значе­ние ?_k (t), соответствующее рассматриваемой трапеции, опреде­ляется в виде произведения (897), где ?х_w (?_m) — высота трапе­ции. Соотношениями (895) и (897) можно воспользоваться для по­строения переходного процесса.

Простота метода обусловила его широкое применение при рас­четах переходных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. По виду обобщенных частотных характеристик можно судить о характере переходного процесса: о его монотонности, перерегулировании и т. п. [22, 24, 26].