При анализе динамических свойств систем автоматического регу­лирования двигателей периодическую составляющую M (t) кру­тящего момента обычно не учитывают. Однако каждая система автоматического регулирования, как и любая другая колебатель­ная система, имеет определенные частоты собственных колебаний, поэтому воздействие на ее работу M (t) при определенных условиях может привести к резонансу.

Анализ условий, создающих возможность появления резонанса в системах автоматического регулирования прямого действия, был проведен под руководством проф. Г. Г. Калиша в Научном автомоторном институте (НАМИ). Исследования показали, что при частоте периодической составляющей момента M (t), прибли­жающейся к частоте собственных колебаний исследуемой системы, амплитуды колебаний угловой скорости и перемещений муфты регулятора могут резко возрасти.

Резонанс возможен и под влиянием периодической составляю­щей момента сопротивления (несбалансированность колес, изогну­тость диска колеса автомобиля и др.).

Резонансные условия работы являются наиболее вероятными для двигателей, работающих в широком диапазоне скоростных и нагрузочных режимов, т. е. для двигателей в основном автотрактор­ного типа. Так как такие двигатели в большинстве случаев обору­дуют всережимными механическими регуляторами прямого дей­ствия, то задача выявления резонансных условий работы должна быть решена прежде всего применительно к системам, переходные процессы которых описываются дифференциальными уравнениями третьего порядка.

Если предположить, что настройка потребителя остается неизменной (?_д = 0), то дифференциальное уравнение двигателя без наддува можно записать в виде

где М (t) — периодическая составляющая крутящего момента. Поэтому система уравнений, описывающая переходные процессы системы автоматического регулирования, в этом случае будет иметь вид

После подстановки развернутых собственных операторов элементов системы

где А₃, А₂, А₁ и А₀ определяются выражениями (602).

Полученные уравнения целесообразно представить в нормиро­ванной форме:

где ? и ? — критерии подобия, определяемые формулами (662), а коэффициенты правых частей уравнений

то уравнения (917) и (918) можно записать в более компактной форме:

Влияние периодической составляющей М (t) крутящего мо­мента на характер вынужденных колебаний угловой скорости вала двигателя или муфты автоматического регулятора можно иллюстрировать амплитудно-фазовой частотной характеристикой воздействия.

Уравнение (919) показывает, что эта характеристика имеет вид

поэтому результирующее изменение угловой скорости вала двига­теля

Для определения амплитуды колебаний угловой скорости и сдвига фазы этих колебаний относительно колебаний возмущаю­щего воздействия амплитудно-фазовую частотную характеристику воздействия целесообразно представить в виде

где А_M^? (?) = f (?) — амплитудная частотная характеристика воздействия; ?_M^? (?) = f (?) — фазовая частотная характеристика воздействия.

Периодическая составляющая крутящего момента М (t) в общем случае является сложной периодической функцией вре­мени, поэтому ее можно представить в виде комплексного ряда Фурье:

где k — порядок гармоники; С_k — комплексные коэффициенты Фурье, определяемые по известным коэффициентам Фурье (698) и (699).

Так как уравнения (919) и (920) записаны в безразмерной, нормированной форме, выражению (923) целесообразно придать вид

может быть принято в качестве частоты k-й гармоники, ?₀ — в ка­честве частоты основной гармоники.

Для четырехтактных двигателей k принимает значения 1/2; 1; 1 ?; 2 ?; ...; для двухтактных 1; 2; 3; 4; ... при условии,  что в качестве ?₀ используют частоту основной гармоники, опре­деляемой угловой скоростью коленчатого вала на выбранном равновесном режиме.

Амплитуды гармоник определяют известными методами гармо­нического анализа периодической составляющей крутящего мо­мента.

Подстановка выражений (922) и (924) в уравнение (921) при­водит последнее к виду

Произведение С_kА_M^? (?) можно рассматривать в этом случае в качестве ?_k амплитудного отклонения k-й гармоники, поэтому

Таким образом, для определения результирующего движения системы под действием периодической составляющей крутящего момента необходимо найти прежде всего амплитудную и фазовую частотные характеристики воздействия.

Для их получения можно воспользоваться уравнениями (919) и (920). Передаточные функции, определяемые этими уравнениями, имеют вид

Соответствующие амплитудно-фазовые частотные характери­стики могут быть найдены с помощью подстановки р = i? в передаточные функции. В этом случае амплитудно-фазовая частотная характеристика

Аналогичным способом можно найти амплитуду и сдвиг фазы колебаний муфты регулятора. С учетом амплитудно-фазовой частотной характеристики воздействия

перемещение муфты регулятора под влиянием колебательной составляющей крутящего момента можно представить в виде

Произведение С_kА_M^? (?) можно рассматривать в качестве амплитудного отклонения ?_k k-й гармоники, поэтому

На основании выражения (930) находят амплитудную харак­теристику воздействия

На основании полученных выражений амплитудных и фазовых частотных характеристик можно сравнить колебания угловой скорости вала двигателя с колебаниями муфты регулятора.

Отношение уравнений (926) и (932) имеет вид

Подстановка выражений (929) и (934) в формулу (936) показы­вает, что сдвиг фаз указанных колебаний составляет

Зная амплитудные частотные характеристики воздействий [см. выражения (928) или (933)], можно определить условия резо­нансной работы исследуемой системы. Для этого следует по­строить зависимости А_M^? (?) = f (?) и А_M^? (?) = f (?) и найти частоты, при которых амплитуды достигают максимальных значе­ний. Эти частоты необходимо затем сравнить с частотами гармоник периодической составляющей крутящего момента на основании выражения (925).

Резонансные частоты определяют также из условий

Перед корнем стоит только плюс, так как частоты реальных режимов должны быть положительными. Анализ второго из условий (937) показывает, что максимальным значениям амплитуд соответствует частота

Для того чтобы ?_m ? 0, необходимо выполнить неравенство

в противном случае резонанса в системе не будет.

Неравенство (938) в зависимости от значений критериев подобия ? и ? выполняется при двух условиях: 1) если ?² — 2? ? 0, необ­ходимо, чтобы 2? — ?² ? 0; 2) если ?² — 2? ? 0, необходимо, чтобы (?² - 2?)² + 3 (2? - ?²) ? 0.

Полученные неравенства дают возможность на поле диаграммы И. А. Вышнеградского выделить область возможных резонансных режимов.

Граничные условия ?² — 2? = 0 и 2? — ?² = 0 определяют две параболы, проходящие через начало координат (рис. 295) и через точку с координатами ? = 2; ? = 2. Если ограничиться лишь областью II периодически сходящихся переходных процес­сов, то неравенства ?² — 2? ? 0 и 2? — ?² ? 0 выполняются и в области, ограниченной кривыми АВ, ВС и СD.

Граничные условия ?² — 2? = 0 и (?² — 2?)² + 3 (2? — ?²) = 0 определяют в области II две кривые: параболу ОВL и кривую NВ, касающуюся параболы АВ в точке В и имеющую минимум в точке с координатами ? = 1,72 и ? = 1,92.

Неравенства ?² — 2? ? 0 и (?² — 2?)² + 3 (2? — ?²) ? 0 выполняются в области, ограниченной кривыми NB, ВС и СМ.

Следовательно, резонансные условия работы системы прямого регулирования двигателя можно ожидать в первом квадранте диаграммы проф. И. А. Выш­неградского в части облас­ти II, ограниченной кривы­ми АВN и МСD (на рис. 295 эта область заштри­хована). Если точка с ко­ординатами ? и ? распола­гается в заштрихованной об­ласти, то необходимо выявить резонансные частоты и срав­нить их с частотами иссле­дуемой системы. Если эта точка оказывается вне пределов заштрихованной области, то резонансных явлений не будет.

Приведенное исследование условий возникновения резонанса в системе регулирования двигателя без наддува выполнено в пред­положении, что крутящий момент двигателя непрерывно и плавно изменяется по мере движения рейки топливного насоса, а это не совсем точно. В действительности на крутящий момент двигателя влияет лишь положение рейки в момент отсечки топлива в золот­никовом топливном насосе. Поэтому при определенных условиях резонансные колебания муфты регулятора могут не вызывать соответствующих колебаний угловой скорости вала двигателя.