Каждый переходный процесс системы автоматического регулиро­вания представляет собой алгебраическую сумму ряда состав­ляющих, число которых определяется порядком п дифферен­циального уравнения. Протекание во времени этих составляющих (С₂е^р2t, С₂е^р2t и др.) целиком определяется значением и алгебраическим знаком корней (р₁, р₂ и других) характеристического урав­нения.

Однако для построения результирующего переходного процесса ? ⁼ f (t) являющегося алгебраической суммой всех его составляю­щих, необходимо знать не только характер протекания каждой из составляющих, но и соотношение между ними. Это соотношение определяется ординатами составляющих в начальный момент движения (при t = 0). Общие интегралы (725) или (726) показы­вают, что начальными ординатами составляющих являются кон­станты интегрирования С₁, С_2, ..., С_k ..., С_п. Число констант интегрирования всегда численно равно порядку n дифференциаль­ного уравнения.

Для определения констант интегрирования необходимо задать начальные условия, которые в общем случае зависят от состояния системы автоматического регулирования в момент возмущения и характера самого возмущающего воздействия.

Начальные условия при t = 0 записываются в виде совокуп­ности значений: ?₀ — начального отклонения; ?₀ — (d?/dt)₀ — начальной скорости; w₀ = (d²?/dt²)₀ — начального ускорения; z₀ = (d³? / dt³)₀ - скорости изменения начального ускорения и т. д. Таким образом, начальные условия характеризуют состояние системы автоматического регулирования в момент появления воз­мущающего воздействия.

В реальных условиях ступенчатое возмущение (см. рис. 248, а) не может совершиться мгновенно, так как это связано с перемеще­ниями материальных деталей и узлов. Следовательно, ступенчатое возмущение происходит не мгновенно, а за очень малый интервал времени —? < t < +? [24], причем ? — некоторая положитель­ная величина. Если ? ? 0, как это имеет место при ступенчатом возмущении, то момент времени t = 0 по существу разбивается на два момента: t = —0 — непосредственно перед возмущением и t = +0 — сразу после возмущения. В связи с этим при задании начальных условий всегда следует четко различать состояния системы автоматического регулирования: до возмущения при t = —0 и после возмущения при t = +0.

Если режим работы двигателя до возмущения (при t = —0) характеризуется начальными условиями

то режим работы двигателя после возмущения (при ? = +0) должен характеризоваться новыми начальными условиями

и т.д.

Начальные условия (797) и (798) связаны между собой. Началь­ные условия (798) можно определить, если известны начальные условия (797) и дифференциальное уравнение системы автомати­ческого регулирования.

Принцип суперпозиции дает возможность в уравнении (542) принять ?_р — 0 (неизменность настройки регулятора) и записать его в виде

Пусть собственный оператор системы автоматического регули­рования

Формулы для подсчета начальных условии (798) с учетом на­чальных условий (797) при ступенчатом возмущении ?_д = ?_д0 = const для системы автоматического регулирования с дифферен­циальным уравнением (609) или (612) имеют вид [24]

При снижении порядка оператора воздействия, например, до четвертого в формулах (802) необходимо принять условие S₅ = О, при снижении до третьего порядка S₅ = 0; S₄ = 0 и т. д. Если в правой части дифференциального уравнения системы автомати­ческого регулирования нет производных, то подстановка условий S₅ = S₄ = ... = S₁ = 0 в формулы (802) показывает, что в этом случае начальные условия (797) при t = —0 оказываются равными начальным условиям (798) при t = +0.

Если динамические свойства системы автоматического регули­рования характеризуются дифференциальным уравнением (799) пятого порядка с операторами

то формулы пересчета начальных условий имеют вид

При дифференциальном уравнении (799) четвертого порядка с операторами

формулы пересчета начальных условий имеют вид

При дифференциальном уравнении (799) третьего порядка с операторами

формулы пересчета начальных условий имеют вид

Аналогично могут быть записаны формулы пересчета началь­ных условий для дифференциального уравнения

когда а = 0.

Часто система автоматического регулирования до возмущения работает в условиях равновесного (установившегося) режима, когда начальные условия при t = —0 оказываются нулевыми:

В этом случае начальные условия при t = +0 определяются более простыми формулами. Например, применительно к дифферен­циальному уравнению (799) с собственным оператором четвертого порядка начальные условия (804) с учетом (806) имеют вид

После определения начальных условий можно приступить к под­счету констант интегрирования.

Пусть переходные процессы системы автоматического регули­рования описываются, например, дифференциальным уравнением третьего порядка при неизменной настройке регулятора (?_р = 0):

Если принять, что нагрузка на двигатель изменяется скачком от ?_д = 0 (при t = —0) до ?_д = ?_д0 = const (при t = +0), то общий интеграл неоднородного дифференциального уравнения (807) сле­дует искать в виде суммы общего интеграла однородного уравнения

и частного интеграла неоднородного уравнения

Следовательно,

Для подсчета констант интегрирования необходимо знать начальные условия. В соответствии с формулами (805) с учетом условия (806) начальные условия для рассматриваемой системы имеют вид

Подстановка этих начальных условий при t = +0 в общий интеграл (808) дает

Решение полученной системы уравнений в детерминантной форме имеет вид

В формулах (810) удобно использовать относительные кон­станты интегрирования, значения которых определяются только корнями характеристического уравнения. После введения относи­тельных констант интегрирования

Аналогично могут быть определены константы интегрирования и при исследовании переходных процессов, описываемых линей­ными дифференциальными уравнениями более высоких порядков.