Расположение корней характеристического уравнения

Качество переходного процесса можно оценить по расположению корней характеристического уравнения в плоскости, показанной на рис. 250.

Математическим выражением переходного процесса является общий интеграл дифференциального уравнения системы регулиро­вания. Как это следует из выражений (725), (726) или (741), пере­ходный процесс состоит из алгебраической суммы апериодических и колебательных составляющих. Число составляющих опреде­ляется порядком дифференциального уравнения системы, т. е. числом корней характеристического уравнения. Если корень характеристического уравнения рj, то математическое выражение соответствующей составляющей переходного процесса имеет вид

?j = Cjepjt.

 

Если рj — действительный корень, то ?j — экспонента, облада­ющая свойством в равные интервалы времени уменьшать ординату составляющей в равных отношениях. Пусть в момент времени t1 ордината составляющей ?j = ?j1, а в момент t2 соответственно ?j = ?j1 В этом случае

Если ?j2 в m раз меньше ?j1, то ?j1 = m?j2; тогда

tjm = —ln m/pj,

где tjm = t2 — t1.

Полученное соотношение показывает, что чем меньше абсолют­ное значение действительной части корня, тем больший интервал времени tjm потребуется для того, чтобы ордината составляющей уменьшилась в т раз, т. е. чем меньше pj, тем больше время затухания данной составляющей.

Следовательно, для обеспечения качества переходного процесса на плоскости расположения корней (см. рис. 250) можно наметить некоторую границу AB, находящуюся левее мнимой оси на рас­стоянии ?. Если все вещественные части корней характеристи­ческого уравнения по абсолютному значению больше ? то любая из составляющих ?j будет затухать быстрее экспоненты

Таким образом, для обеспечения заданного качества переход­ного процесса все корни характеристического уравнения должны располагаться на плоскости левее границы АВ. Выполнение этого условия нетрудно проверить расчетным путем. Действительно, зная ? можно преобразовать характеристическое уравнение путем смещения оси ординат на рис. 250 на ? влево. В этом случае

Если это уравнение удовлетворяет условиям устойчивости, то все корни исходного уравнения расположены левее выбранной границы. Это свидетельствует о том, что все составляющие будут затухать быстрее экспоненты Се-?t.

Если действительная часть ? корней характеристического уравнения определяет скорость затухания составляющих переход­ного процесса, то коэффициент ? мнимой части корней определяет колебательность этих составляющих.

Чем больше по абсолютному значению мнимая часть корня, тем выше частота колебаний составляющей.

По мере роста значения ? увеличивается число колебаний, совершаемых системой автоматического регулирования в течение переходного процесса. Поэтому поле расположения корней харак­теристического уравнения на плоскости корней с точки зрения качества ограничивается не только абсциссой ?, но и углом ?? (см. рис. 250), причем

Чем меньше ?/?, тем меньше колебаний совершает система.

Следовательно, если работа системы автоматического регулирования должна удовлетворять заданному качеству, то корни харак­теристического уравнения должны располагаться в пределах области САВD, показанной на рис. 250.