Качество переходного процесса можно оценить по расположению корней характеристического уравнения в плоскости, показанной на рис. 250.

Математическим выражением переходного процесса является общий интеграл дифференциального уравнения системы регулиро­вания. Как это следует из выражений (725), (726) или (741), пере­ходный процесс состоит из алгебраической суммы апериодических и колебательных составляющих. Число составляющих опреде­ляется порядком дифференциального уравнения системы, т. е. числом корней характеристического уравнения. Если корень характеристического уравнения р_j, то математическое выражение соответствующей составляющей переходного процесса имеет вид

?_j = C_je^pjt.

Если р_j — действительный корень, то ?_j — экспонента, облада­ющая свойством в равные интервалы времени уменьшать ординату составляющей в равных отношениях. Пусть в момент времени t₁ ордината составляющей ?_j = ?_j1, а в момент t₂ соответственно ?_j = ?_j1 В этом случае

Если ?_j2 в m раз меньше ?_j1, то ?_j1 = m?_j2; тогда

t_jm = —ln m/p_j,

где t_jm = t₂ — t_1.

Полученное соотношение показывает, что чем меньше абсолют­ное значение действительной части корня, тем больший интервал времени t_jm потребуется для того, чтобы ордината составляющей уменьшилась в т раз, т. е. чем меньше p_j, тем больше время затухания данной составляющей.

Следовательно, для обеспечения качества переходного процесса на плоскости расположения корней (см. рис. 250) можно наметить некоторую границу AB, находящуюся левее мнимой оси на рас­стоянии ?. Если все вещественные части корней характеристи­ческого уравнения по абсолютному значению больше ? то любая из составляющих ?_j будет затухать быстрее экспоненты

Таким образом, для обеспечения заданного качества переход­ного процесса все корни характеристического уравнения должны располагаться на плоскости левее границы АВ. Выполнение этого условия нетрудно проверить расчетным путем. Действительно, зная ? можно преобразовать характеристическое уравнение путем смещения оси ординат на рис. 250 на ? влево. В этом случае

Если это уравнение удовлетворяет условиям устойчивости, то все корни исходного уравнения расположены левее выбранной границы. Это свидетельствует о том, что все составляющие будут затухать быстрее экспоненты Се^-?t.

Если действительная часть ? корней характеристического уравнения определяет скорость затухания составляющих переход­ного процесса, то коэффициент ? мнимой части корней определяет колебательность этих составляющих.

Чем больше по абсолютному значению мнимая часть корня, тем выше частота колебаний составляющей.

По мере роста значения ? увеличивается число колебаний, совершаемых системой автоматического регулирования в течение переходного процесса. Поэтому поле расположения корней харак­теристического уравнения на плоскости корней с точки зрения качества ограничивается не только абсциссой ?, но и углом ?_? (см. рис. 250), причем

Чем меньше ?/?, тем меньше колебаний совершает система.

Следовательно, если работа системы автоматического регулирования должна удовлетворять заданному качеству, то корни харак­теристического уравнения должны располагаться в пределах области САВD, показанной на рис. 250.