В теории автоматического регулирования широко используют преобразование Лапласа, так как оно дает возможность упростить получение ряда результатов, важных для анализа и синтеза систем автоматического регулирования.
Преобразование Лапласа можно применить к функциям ? (t), имеющим конечное число разрывов, равным нулю при t < 0 и ограниченным по модулю при t > 0 так, что
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/77.gif)
где А и k — постоянные величины, независимые от t. Для таких функций можно найти изображение по формуле
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/78.gif)
Общие интегралы дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования, описывающие переходные процессы в этих системах, полностью удовлетворяют приведенным выше ограничениям, поэтому к ним может быть применено преобразование Лапласа.
Формула (813) показывает, что в тех случаях, когда функция ? (t) имеет постоянный коэффициент А, последний может быть вынесен за знак интеграла:
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/79.gif)
Преобразование Лапласа позволяет получить изображения выражений, наиболее часто встречающихся в теории автоматического регулирования при построении и анализе переходных процессов.
Пусть, например, ? (t) = еz1t этом случае в соответствии с формулой (813)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/80.gif)
Умножив и разделив полученное отношение на z — i?, можно показать, что
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/81.gif)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/82.gif)
то после умножения и деления на ? + z + i? и в соответствии с формулой (814)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/83.gif)
В качестве возмущающего воздействия на систему автоматического регулирования часто используют единичное ступенчатое изменение входной координаты.
Таким возмущением может быть мгновенное перемещение ?? при t = 0 рычага управления регулятором из положения ? = 0 в положение ?= ?0 или мгновенное изменение нагрузки N на двигатель от 0 до N0. В этих случаях ?? = ?0 и ?N =N0, следовательно,
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/84.gif)
Такое возмущающее воздействие часто называется единичным. Ступенчатая функция при t = 0 имеет один разрыв, поэтому к ней может быть применено преобразование Лапласа. В этом случае
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/85.gif)
При помощи преобразования Лапласа могут быть получены изображения исследуемой функции ? (t) и ее производных. Для этого следует воспользоваться формулой (813), интегрируя ее по частям так, что
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/86.gif)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/87.gif)
Для получения изображения второй производной функции ? (t) формулу (817) следует проинтегрировать по частям. Пусть
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/88.gif)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/89.gif)
Начальное отклонение ? (0) исследуемой функции и ее производные, входящие в правую часть выражений (817)—(821), соответствуют моменту t = —0 до появления возмущающего воздействия на систему автоматического регулирования.
Изображения производных (817)—(821) удобно использовать для определения начальных (при t = +0) и конечных (при t = +?) значений функции ? (t) в переходном процессе. Действительно, в соответствии с выражением (817)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/90.gif)
Таким образом, можно определить значения функции и всех ее производных при t = +0, т. е. найти начальные условия переходного процесса, появляющегося вследствие единичного ступенчатого возмущения.
Для того чтобы найти конечное значение функции (при t = ?), необходимо к формуле (817) применить условие z ? 0. В этом случае
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/91.gif)
то сопоставление полученных выражений свидетельствует о том, что
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/92.gif)
Формула (826) дает возможность определять значение функции ? (t) после завершения переходного процесса и тем самым находить статическую ошибку (неравномерность) работы системы автоматического регулирования.
С помощью преобразования Лапласа также можно находить саму функцию ? (t), если известно ее изображение (обратное преобразование Лапласа). Для выполнения этой задачи необходимо подсчитать интеграл
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/6-chast/50-99/93.gif)
|