Главное меню

xcyber.ru Казино вулкан как убрать: 100%, прямо сейчас Фортуна - в вашей команде. Время победить!
Степень устойчивости

Степенью устойчивости системы называют наименьшее расстояние от мнимой оси до ближайшего корня в левой полуплоскости. Для определения степени устойчивости системы необходимо перенести мнимую ось (см. рис. 250) влево на величину ? до совпа­дения с ближайшим корнем (если корень действительный) или с ближайшими корнями (если корни комплексные сопряженные) характеристического уравнения.

Так, характеристическое уравнение (742) нормированного дифференциального уравнения третьего порядка после переноса оси получит вид

Если ближайшими к оси ординат корнями уравнения (742) является пара комплексных сопряженных корней вида p1,2 = — ? ±i?, то уравнение (774), написанное с учетом переноса оси ординат, должно иметь два чисто мнимых корня ±i? Подстановка р = i? в это уравнение дает

При равенстве нулю комплексного числа равны нулю его веще­ственная и мнимая части.

Исключив ?2, найдем S0 = S2S1 или

Уравнение (775) позволяет на поле диаграммы И. А. Вышнеградского нанести кривые при постоянных значениях степени устойчивости ? = const. При ? = 0 уравнение (775) совпадает с уравнением гиперболы И. Л. Вышнеградского.

На границе апериодиче­ских и колебательных сходя­щихся процессов характери­стическое уравнение имеет три действительных отрица­тельных корня, причем два из них кратные. Если р1 = —рs, р2,3 = —?, то харак­теристическое уравнение можно представить в виде

(р + р3)(р + ?)2 = 0.

Раскрытие скобок и сравнение полученного уравнения с исход­ным характеристическим уравнением показывают, что

Исключив из полученных выражений ? и рs, определим урав­нение (755) границы апериодических и колебательных процессов.

Если предположить, что ближайшим корнем к мнимой оси был действительный отрицательный р = — ?, то перенос мнимой оси на расстояние ? влево дает уравнение (774), имеющее корень р = 0. Это может быть выполнено при условии, что

Для того чтобы остальные два корня оставались в левой полу­плоскости, следует выполнить необходимое условие устойчивости

Если, в частности, S2 < 0, то корень —? не является ближай­шим к мнимой оси. Граничное условие ? — 3? = 0 и уравнение (776) дают возможность исключить а и получить уравнение

дающее границу между монотонными и немонотонными колеба­тельными сходящимися процессами (кривая ABC на рис. 259).

Кривые при постоянных степенях устойчивости в области I и II, а (рис. 259) могут быть построены на основании уравнения (776), которое дает уравнение прямых линий при ? = const

Эти прямые могут быть построены в областях I и II, а, так как в этих областях выполняются условия S2 > 0 и S1> 0. В области II, б кривые равных степеней устойчивости строят с помощью уравнения (775).

Зная значения критериев подобия ? и ?, по диаграмме (рис. 259) можно определить степень устойчивости ? нормированной системы и по соотношению ?н = ?/q (где q — константа времени) степень устойчивости ненормированной системы.

Если известна величина ?н, то уравнение переходного процесса будет

здесь ?п — наименьший корень, поэтому последними двумя слагаемыми можно пренебречь; тогда

Эта составляющая затухает медленнее других, поэтому она определяет время регулирования tp.

Переходный процесс считается законченным, если ? ? ??, где ?? = ???/?0 (?0 — угловая скорость коленчатого вала на заданном равновесном режиме).

Если t == tp то ? = ??. При начальном отклонении С1 = ?0

Логарифмируя полученное выражение, определим время регу­лирования исследуемой системы:

Таким образом, степень устойчивости характеризует время переходного процесса и, следовательно, динамические качества системы автоматического регулирования.