Степенью устойчивости системы называют наименьшее расстояние от мнимой оси до ближайшего корня в левой полуплоскости. Для определения степени устойчивости системы необходимо перенести мнимую ось (см. рис. 250) влево на величину ? до совпа­дения с ближайшим корнем (если корень действительный) или с ближайшими корнями (если корни комплексные сопряженные) характеристического уравнения.

Так, характеристическое уравнение (742) нормированного дифференциального уравнения третьего порядка после переноса оси получит вид

Если ближайшими к оси ординат корнями уравнения (742) является пара комплексных сопряженных корней вида p_1,2 = — ? ±i?, то уравнение (774), написанное с учетом переноса оси ординат, должно иметь два чисто мнимых корня ±i? Подстановка р = i? в это уравнение дает

При равенстве нулю комплексного числа равны нулю его веще­ственная и мнимая части.

Исключив ?², найдем S₀ = S₂S₁ или

Уравнение (775) позволяет на поле диаграммы И. А. Вышнеградского нанести кривые при постоянных значениях степени устойчивости ? = const. При ? = 0 уравнение (775) совпадает с уравнением гиперболы И. Л. Вышнеградского.

На границе апериодиче­ских и колебательных сходя­щихся процессов характери­стическое уравнение имеет три действительных отрица­тельных корня, причем два из них кратные. Если р₁ = —р_s, р_2,3 = —?, то харак­теристическое уравнение можно представить в виде

(р + р₃)(р + ?)² = 0.

Раскрытие скобок и сравнение полученного уравнения с исход­ным характеристическим уравнением показывают, что

Исключив из полученных выражений ? и р_s, определим урав­нение (755) границы апериодических и колебательных процессов.

Если предположить, что ближайшим корнем к мнимой оси был действительный отрицательный р = — ?, то перенос мнимой оси на расстояние ? влево дает уравнение (774), имеющее корень р = 0. Это может быть выполнено при условии, что

Для того чтобы остальные два корня оставались в левой полу­плоскости, следует выполнить необходимое условие устойчивости

Если, в частности, S₂ < 0, то корень —? не является ближай­шим к мнимой оси. Граничное условие ? — 3? = 0 и уравнение (776) дают возможность исключить а и получить уравнение

дающее границу между монотонными и немонотонными колеба­тельными сходящимися процессами (кривая ABC на рис. 259).

Кривые при постоянных степенях устойчивости в области I и II, а (рис. 259) могут быть построены на основании уравнения (776), которое дает уравнение прямых линий при ? = const

Эти прямые могут быть построены в областях I и II, а, так как в этих областях выполняются условия S₂ > 0 и S₁> 0. В области II, б кривые равных степеней устойчивости строят с помощью уравнения (775).

Зная значения критериев подобия ? и ?, по диаграмме (рис. 259) можно определить степень устойчивости ? нормированной системы и по соотношению ?_н = ?/q (где q — константа времени) степень устойчивости ненормированной системы.

Если известна величина ?_н, то уравнение переходного процесса будет

здесь ?_п — наименьший корень, поэтому последними двумя слагаемыми можно пренебречь; тогда

Эта составляющая затухает медленнее других, поэтому она определяет время регулирования t_p.

Переходный процесс считается законченным, если ? ? ?_?, где ?_? = ??_?/?₀ (?₀ — угловая скорость коленчатого вала на заданном равновесном режиме).

Если t == t_p то ? = ?_?. При начальном отклонении С₁ = ?₀

Логарифмируя полученное выражение, определим время регу­лирования исследуемой системы:

Таким образом, степень устойчивости характеризует время переходного процесса и, следовательно, динамические качества системы автоматического регулирования.