Для построения переходного процесса по формулам (725) или (726) необходимо знать числовые значения корней характеристи­ческого уравнения.

При больших степенях характеристических уравнений их корни в радикалах не определяются, в связи с чем приходится использовать различные методы приближенного вычисления кор­ней с постепенным уточнением их значений в процессе вычислений.

Один из таких методов заключается в том, что характеристи­ческое уравнение следует разделить на сомножители в виде поли­номов второй степени, если степень характеристического уравне­ния четная.

Пусть, например, динамические свойства системы автомати­ческого регулирования характеризуются дифференциальным урав­нением (609) или (612) шестого порядка. Тогда характеристическое уравнение имеет шестую степень. Для определения его корней следует все члены уравнения прежде всего разделить на коэффи­циент при члене со старшей степенью р. Характеристическое уравнение в связи с этим получит вид

Затем на основе последних трех членов составляют квадратное уравнение вида

после чего полином (781) делят на полином (782). Деление выпол­няют до получения в остатке трехчлена вида

Если трехчлен (783) не делится без остатка па трехчлен (782), то составляют трехчлен вила

и полином (781) делят на трехчлен (784) до получения в остатке трехчлена

Если полученный трехчлен не делится без остатка на трехчлен (784), то составляют новый делитель вида

и процесс вычисления продолжают до тех пор, пока полином (781) не разделится на трехчлен без остатка или с допустимо ма­лым остатком.

Пусть делитель имеет вид

Так как произведение многочленов (786) и (787) дает многочлен (781), то характеристическое уравнение (781) таким образом раз­деляется на два сомножителя и может быть записано в виде про­изведения

Равенство нулю этого произведения обеспечивается при

Это дает возможность определить четыре корня уравнения (789) с использованием методики, изложенной в § 72, и два корня урав­нения (790) или продолжить процесс вычислений приближенных значений корней уравнения (789). С этой целью на основе трех последних членов уравнения (789) составляют трехчлен вида

после чего в соответствии с описанной выше методикой многочлен (789) делят на этот трехчлен и т. д. После определения трехчлена

на который многочлен (789) разделился без остатка (или с допу­стимо малым остатком), записывают частное отделения многочлена (789) на трехчлен (791) в виде

Так как произведение трехчленов (791) и (792) дает многочлен (789), то в соответствии с выражением (788) характеристическое уравнение (781) можно представить в виде произведения трех трехчленов

где п, k, т — индексы, показывающие число последовательных приближений в каждом расчете.

Полученное уравнение удовлетворяется при условии, что

Корни этих квадратных уравнений являются корнями характе­ристического уравнения (781).

В тех случаях, когда динамические свойства системы автома­тического регулирования характеризуются дифференциальным уравнением нечетного порядка, например, уравнением (594) пятого порядка, характеристическое уравнение имеет нечетную пятую степень. Порядок определения корней в этом случае может быть несколько иным.

После приведения характеристического уравнения к виду

Если корни этого уравнения комплексные сопряженные, то порядок дальнейшего вычисления корней характеристического уравнения сохраняется прежним.

Если корни уравнения (794) — действительные, то подсчет корней характеристического уравнения можно начать с определе­ния одного корня. С этой целью полином (793) следует делить на двучлен

до получения в остатке двучлена

Если двучлен (796) не делится без остатка на двучлен (795), то составляют новый двучлен р + а₀’ /а₁’ на который вновь делят многочлен (793) до получения остатка а₁”р + а₀”, и так до тех пор, пока остаток а₁ⁿр + a₀ⁿ не разделится на двучлен р + a₀^n-1/a₁^n-1.  Если деление произведено без остатка, то это значит, что первый корень характеристического уравнения имеет значение

p₁ = - a₀ⁿ /a₁ⁿ.

В этом случае характеристическое уравнение (793) может быть заменено произведением

после чего дальнейшее вычисление корней выполняют описанным выше методом.

Найденные таким образом приближенные значения корней характеристического уравнения могут быть уточнены графоанали­тическим методом. Для этого характеристическое уравнение следует записать в виде равенства М₁ = М₂, где

и в окрестностях вычисленных значений корней построить кривые М₁ = f₁ (р) и М₂ = f₂ (р). Значения р, при которых кривые M₁ = f₁ (р) и М₂ = f₂ (р) пересекаются, являются уточненными значениями корней характеристического уравнения.

Таким образом, изложенная выше методика дает возможность определить корни характеристического уравнения системы авто­матического регулирования практически любого порядка.