Современные двигатели внутреннего сгорания являются комби­нированными агрегатами. Во многих случаях такие силовые установки работают в широком диапазоне скоростных и нагрузоч­ных режимов.

Определение параметров, характеризующих работу каждого из элементов такого агрегата на согласованных режимах, вызы­вает существенные трудности, приводящие к необходимости ис­пользования при расчетах в качестве исходных большого числа экспериментальных данных.

Между тем эксперимент, предназначенный для определения значений тех или иных параметров, характеризующих работу элементов системы регулирования на равновесных режимах, часто предполагает получение этих результатов через определенные, заранее выбранные интервалы изменения режимов работы. Чем меньше эти интервалы, тем выше точность построенных по этим точкам статических характеристик. Повышение точности, дости­гаемое таким путем, требует существенного увеличения числа равновесных режимов, при которых осуществляют замер (расчет) искомых параметров.

Однако и в этих условиях могут оставаться интервалы, в пре­делах которых определение значений параметров должно осу­ществляться интерполированием.

Таким образом, в результате тщательно поставленного экс­перимента и дополнительных расчетов исследователь может по­лучить в свое распоряжение некоторое число статических харак­теристик, проходящих через точки, найденные экспериментально или путем расчета с использованием экспериментальных данных.

Между тем при анализе статических и тем более динамических свойств систем автоматического регулирования выясняется не­обходимость знания значений параметров не в отдельных точках, полученных экспериментальным путем, а в любых точках, произ­вольно расположенных в возможном диапазоне изменений равно­весных режимов.

Отсутствие аналитических зависимостей, позволяющих опре­делить значение параметров в произвольно выбранных точках системы координат, вынуждает прибегать к аппроксимации ста­тических характеристик элементов системы автоматического ре­гулирования.

Под аппроксимацией будем понимать нахождение приближен­ных аналитических выражений статических характеристик эле­ментов, точные аналитические выражения которых неизвестны или настолько сложны, что практическое использование их затруд­нено [18].

Для аппроксимации таких зависимостей можно использовать несколько методов. Однако лучшие результаты дает метод наи­меньших квадратов. Для того чтобы использовать этот метод, необходимо подобрать аппроксимирующие многочлены и опре­делить их коэффициенты. Эта задача выполнима при наличии не­которой совокупности экспериментальных точек, выражающих статическую характеристику, например, вида

Эту зависимость, заданную отдельными точками, необходимо ап­проксимировать некоторой другой зависимостью

но так, чтобы сумма Е_? квадратов ошибок, допущенных при за­мене зависимости (898) зависимостью (899), была наименьшей:

где ?_j = f_j (x_1j; x_2j; x_3j) – Ф_j (x_1j; x_2j; x_3j).

Аппроксимированную характеристику (899) можно предста­вить суммой некоторых функций ?_i (x₁; x₂; x₃) со специально подобранными постоянными коэффициентами а_j так, что

Коэффициенты а_i можно определить при рассмотрении выра­жения (900) в качестве функции от аргументов a_i. В этом случае минимум выражения (900) можно определить путем отыскания частных производных выражения (900) по каждому из аргумен­тов а_i и приравнивания этих производных нулю:

где i = 0, 1, 2,..., m.

Найденные таким образом производные составляют систему из т уравнений для нахождения т неизвестных (а₁, а₂, ..., а_т) Этой системе уравнений можно придать вид

где s = 1, 2, 3 или больше при числе аргументов статической характеристики, большем трех.

После определения коэффициентов а_j можно записать аппрок­симирующий многочлен (901), точность которого должна быть проверена вычислением суммы (900) для заданных точек и сопостав­лением экспериментальных точек с точками, найденными на ос­нове уравнения (901). Отыскание зависимостей, аппроксимирую­щих статические характеристики, можно осуществить на ЭЦВМ.

Как известно, высокий порядок полинома дает лучшее при­ближение к аппроксимирующей зависимости. Однако для эконо­мии времени на расчет целесообразно выбрать возможно мини­мальный порядок полинома, обеспечивающий приемлемую для практики точность приближения.

Контрольные расчеты алгебраических многочленов второй сте­пени показывают, что ошибка при сопоставлении эксперимен­тальных статических характеристик с расчетными в ряде случаев достигает 10%. Применение полиномов третьей степени снижает эту ошибку до 2% в большинстве контрольных точек. Дальней­шее повышение порядка полинома не приводит к существенному снижению ошибки, но одновременно значительно усложняет расчет.

Следовательно, статическую характеристику, определяемую одним аргументом, можно аппроксимировать полиномом

Статическая характеристика с двумя аргументами удовлетво­рительно аппроксимируется полиномом

Изложенная методика аппроксимации конкретных статических характеристик приводит к соответствующим уравнениям, удобным для расчета. Например, момент сопротивления гидротормоза (см. рис. 25 а) определяется угловой скоростью ? ротора и настрой­кой N тормоза, поэтому аппроксимируется уравнением

Если двигатель оборудован системой наддува, то значение его крутящего момента зависит от трех аргументов: угловой ско­рости ? коленчатого вала, положения h рейки топливного насоса и давления р_к наддува. Для дизеля 1Д6Н это уравнение имеет вид

Для расчета коэффициентов уравнений аппроксимации можно использовать цифровые электронно-вычислительные машины.

Таким образом, представление статических характеристик эле­ментов систем автоматического регулирования аппроксимирую­щими функциональными зависимостями позволяет с достаточной степенью точности определить значение того или иного пара­метра при любом выбранном режиме работы. Эти зависимости удобно использовать также в тех случаях, когда необходимо знать числовые значения частных производных: эти значения опреде­ляют дифференцированием соответствующих аппроксимирующих зависимостей.