Критерии устойчивости Рауза—Гурвица дают возможность выяс­нить условия, при которых та или иная система автоматического регулирования будет устойчивой. Например, переходные про­цессы двигателя без наддува, оборудованного механическим регу­лятором прямого действия без упругоприсоединенного катаракта, описываются линейным дифференциальным уравнением третьего порядка (601) с коэффициентами (602). Эта система автоматиче­ского регулирования оказывается устойчивой только в том слу­чае, когда

Развернутые выражения коэффициентов (602) включают пара­метры двигателя и автоматического регулятора прямого действия. Время чувствительного элемента T_p² и время катаракта T_к яв­ляются существенно положительными величинами. Коэффи­циент местной степени неравномерности ?_z характеризует етатизм (наклон) статической характеристики регулятора в точке иссле­дуемого равновесного режима. Как правило, ?_z > 0.

Двигатель имеет всегда положительную инерционность, по­этому T_д > 0. Коэффициент самовыравнивания двигателя k_д может быть положительным, отрицательным (в зависимости от алгебраического знака фактора устойчивости F_д) или равным нулю. Если k_д> 0, коэффициенты (602) уравнения (601) всегда положительны.

Детерминант Гурвица

после подстановки выражений (602) и развертывания в разность имеет вид

увеличение положительного значения k_д позволяет выбрать меньший статизм регулятора при сохранении устойчивости системы автоматического регулирования. В случае k_д < 0 статизм чувстви­тельного элемента должен быть существенно увеличен.

Неравенство (738) для границы устойчивости можно пред­ставить в виде уравнения

решая которое относительно T_к, найдем

Абсолютное значение квадратного корня полученного выра­жения при k_д > 0 больше значения первого слагаемого. Это указывает на то, что одно из граничных значений времени ката­ракта (T_к1) положительно, другое (T_к2) отрицательно. Ограничи­ваясь только положительным значением T_к1, можно сделать вывод, что критерий Рауза—Гурвица выполняется лишь при T_к >T_к1.

Следовательно, уменьшение сил гидравлического трения в ре­гуляторе может привести к нарушению устойчивости системы регулирования (при T_к <T_к1).

При k_д < О первое слагаемое становится положительным и большим по значению квадратного корня. Следовательно, появ­ляется два положительных граничных значения времени ката­ракта T_к1 и T_к2, а система оказывается устойчивой при T_к1 <T_к <T_к2.

При астатическом регуляторе прямого действия (?_z = 0) си­стема автоматического регулирования двигателей может быть устойчивой только при положительном самовыравнивании регу­лируемого объекта: k_д> 0.

Включение в регулятор упругоприсоединенного катаракта повышает порядок дифференциального уравнения регулятора со второго (270) до третьего (264). Сопоставление этих уравнений показывает, что при T_к — 0 регулятор без упругоприсоединенного катаракта дает незатухающие колебания, а коэффициенты (602) свидетельствуют о том, что система автоматического регулирова­ния при k_д < 0 не может быть устойчивой. Упругоприсоединенный катаракт обеспечивает положительный знак коэффициентов (265) дифференциального уравнения (264) регулятора даже при T_к — 0. Вследствие этого сохраняется положительный знак коэффициентов (599) дифференциального уравнения системы авто­матического регулирования, в связи с чем выполняются по край­ней мере необходимые условия устойчивости.

Для того чтобы система автоматического регулирования дви­гателя, оборудованного автоматически регулятором непрямого действия с жесткой кинематической обратной связью, была устой­чивой, необходимо выполнить условия

Анализ конструкций регуляторов непрямого действия показы­вает, что из-за небольшой массы грузов допустимо принимать T_р² ? 0 без внесения ощутимой ошибки в получаемый результат.

Кроме того, чувствительный элемент такого регулятора в ра­боте связан лишь с легким золотником серводвигателя. Поэтому силы гидравлического трения регулятора также оказываются малыми, что дает возможность дополнительно принять условия T_к ? 0. Если учесть эти упрощения, а также принять Т_д2² ? 0 в формулах (617), то уравнение (618) с коэффициентами

будет иметь второй порядок.

Для уравнения второго порядка необходимые условия одно­временно являются и достаточными, поэтому рассматриваемая система автоматического регулирования будет устойчивой при A₂ > 0, A₁ > 0 и A₀ > 0. Выполнение этих условий при k_д._н > 0 (двигатель с положительным самовыравниванием) не вызывает трудностей.

При k_д._н < 0 (двигатель с отрицательным самовыравниванием) система автоматического регулирования сохранит свою устой­чивость только при выполнении определенных условий. Так, по мере уменьшения коэффициента жесткой кинематической обратной связи k_с выполнить условия А₁ > 0 становится все труднее, и при выключенной обратной связи (k_с = 0) устойчи­вость системы регулирования возможна только при Т_?> T_c ?_я | k_д._н |. В двигателях без наддува Т_? = 0, поэтому обес­печить устойчивость системы при k_д._н <0; k_c = 0 вообще невозможно.

Переходные процессы систем изодромного регулирования опи­сываются дифференциальным уравнением шестого порядка с коэф­фициентами (619). Если принять упрощающие условия (Т_д2² = 0; Т_p² = 0; Т_к = 0), то уравнение будет иметь третий порядок с коэффициентами

Эти формулы показывают, что система изодромного регулиро­вания двигателя может быть устойчивой, а переходные процессы сходящимися как при положительном самовыравнивании двига­теля (k_д._н >0), так и при отрицательном (k_д._н < 0).

При Т_д2² = Т_p² = Т_к = 0 дифференциальное уравнение си­стемы непрямого регулирования с комбинированной кинематической обратной связью становится уравнением третьего порядка, а формулы (627) коэффициентов принимают вид

Эти формулы показывают, что условие ?_z > 0 при k_д._н ? 0 для устойчивости системы обязательно (А₂ > 0).

Если исключить влияние изодрома (T_из = 0), то система не теряет устойчивости и работает как система непрямого регулиро­вания с жесткой кинематической обратной связью.

Применение критерия устойчивости Рауза—Гурвица может оказаться полезным при оценке устойчивости и более сложных систем автоматического регулирования. Например, условия, обес­печивающие устойчивую работу системы двухимпульсного регу­лирования двигателя (по скорости и нагрузке), можно предста­вить с помощью уравнения (638).

В соответствии с принципом суперпозиции результирующий переходный процесс системы можно рассматривать в виде суммы процессов, возникающих в системе под действием изменения как нагрузки ?_д, так и скоростного режима ?_р. Общее уравнение системы в этом случае можно представить в виде двух дифферен­циальных уравнений:

Последнее уравнение при ?_д = 0 и и_? = 1 является уравнением описывающим переходные процессы в системе непрямого регулирования с жесткой силовой обратной связью. Серводвигатель 28 (см. рис. 191) при этом неподвижен. Если подставить в это урав­нение развернутое выражение операторов, то можно получить уравнение пятого порядка с коэффициентами (622). Следовательно, для устойчивой работы двухимпульсной системы регулирования должна быть обеспечена прежде всего устойчивость работы одноимпульсной системы регулирования двигателя по отклонению регулируемого параметра.

Собственный оператор уравнения (638) можно представить в виде произведения двух собственных операторов

Подстановка развернутых выражений определителей в D_N (р) даст уравнение (641) с коэффициентами (642), которое характе­ризует динамические свойства части регулятора, реагирующей на изменение нагрузки.

Переходные процессы такой системы по нагрузке описываются дифференциальным уравнением

D_N(p)?_N = 0.

где ?_N — перемещение поршня серводвигателя (см. поз. 28 на рис. 191). Полученное уравнение свидетельствует о том, что система двухимпульсного регулирования будет устойчива только при условии устойчивости регулятора по нагрузке.

Из сказанного можно сделать вывод, что система двухимпульс­ного регулирования будет устойчивой если устойчивыми являются порознь система регулирования двигателя по отклонению регули­руемого параметра и часть регулятора, вырабатывающая импульс по нагрузке.