Характер процессов в системе регулирования целиком определяется критериями подобия (662)—(668), которые являются коэффициентами нормированных дифференциальных уравнений (654), (655), (656) и др. систем автоматического регулирования.
В системах прямого регулирования с механическим регулятором без упругоприсоединенного катаракта таких критериев два (? и ?), поэтому все виды процессов, описываемых уравнением (654), можно представить на плоскости с координатами ? и ?. Диаграмма, полученная таким способом, была впервые предложена проф. И. А. Вышнеградским и названа его именем.
Согласно критериям Рауза—Гурвица переходные процессы, описываемые линейным дифференциальным уравнением (654), будут сходящимися, а система устойчивой только в том случае, если
? > 0; ? > 0 и ?? — 1 > 0.
Последнее неравенство является развернутым определителем Гурвица и представляет собой необходимое и достаточное условие сходимости переходных процессов и устойчивости систем автоматического регулирования. Если это неравенство не выполняется, переходные процессы становятся расходящимися, а система регулирования неустойчивой.
Таким образом, уравнение
?? — 1 = 0 (740)
является границей сходящихся и расходящихся переходных процессов. На поле диаграммы (рис. 251) уравнение (740) дает равнобокую гиперболу, проходящую в первом квадранте координатной
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/177.gif)
плоскости через точку с координатами ? = 1 и ? = 1. Гипербола 1 показывает, что переходные процессы будут сходящимися, а система устойчивой, если характеристическая точка (?; ?) располагается не только в первом квадранте (? > 0; ? > 0), но и правее и выше гиперболы, т. е. в области II.
Решением уравнения (654) является выражение
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/178.gif)
C1, С2, C3 — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий и корней характеристического уравнения. Корни уравнения (742) определяются при помощи подстановки
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/179.gif)
После преобразования и введения новых обозначений коэффициентов
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/180.gif)
Так как коэффициент ? действителен, то все три корня уравнения (742) действительны одновременно с корнями ? уравнения (745) или два из них есть комплексные сопряженные одновременно с корнями ?.
Решение уравнения (745) должно быть представлено в виде суммы
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/181.gif)
Так как на соотношение величин u и ? каких-либо ограничений не накладывалось, можно принять, что
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/182.gif)
Если подставить полученное выражение в уравнение (746), то
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/183.gif)
Сравнение соотношений (747) и (748) показывает, что u3 и ?3 являются корнями квадратного уравнения
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/184.gif)
удовлетворяющие условию (747). Подстановка полученных формул в выражение (743) дает искомые корни характеристического уравнения (742):
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/185.gif)
Если в корнях Кордана (749)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/186.gif)
то u и ? — действительные различные числа, и тогда один из корней (750) является действительным числом, например р1, а два других корня — комплексные сопряженные
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/187.gif)
то и и ? — комплексные сопряженные числа, в связи с чем корни (750) оказываются действительными числами, которые могут быть определены по формулам
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/188.gif)
Вычисления следует выполнять с помощью логарифмов. При наличии комплексных сопряженных корней характеристического уравнения решение дифференциального уравнения (654) примет вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/189.gif)
Признаком наличия комплексных сопряженных корней уравнения (745), а следовательно, и уравнения (742) является условие (751). Если выполняется условие (752), то все корни характеристического уравнения—действительные числа. Следовательно, границей, разделяющей области действительных и комплексных сопряженных корней, т. е. границей апериодических и колебательных переходных процессов, описываемых уравнением (654), является уравнение
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/190.gif)
которое путем подстановки выражений (744) можно привести к виду
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/191.gif)
Полученное уравнение, симметричное относительно переменных ? и ? дает на диаграмме (см. рис. 251) кривую 2, представленную в первом квадранте двумя ветвями, сливающимися в точке A (? = 3; ? = 3) так, что общая к ним касательная составляет с осями координат угол 45°. В области расходящихся процессов уравнение (755) при решении дает кривую 3.
Построенные таким образом кривые разделяют все поле диаграммы на четыре области:
1 — область апериодически сходящихся процессов (см. кривую 2 на рис. 249, а)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/192.gif)
Диаграмма проф. И. А. Вышнеградского дает представление о характере переходного процесса в системах третьего порядка.
Аналогичные диаграммы с выделением областей сходимости переходных процессов можно построить и для систем более высоких порядков. В частности, нормированное уравнение (655) систем четвертого порядка имеет три безразмерных коэффициента: ?; ? и ? поэтому характеристическая точка такой системы располагается в пространстве. Диаграмма сходимости, построенная в пространственных координатах, неудобна в работе, в связи с чем можно использовать метод параллельных сечений плоскостями, перпендикулярными, например, к оси ? (рис. 252). В каждой из таких плоскостей переменными являются два коэффициента: ? и ? при постоянном значении коэффициента ?.
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/193.gif)
Критерии сходимости Рауза — Гурвица, выполнение которых обеспечивает сходимость переходного процесса, для уравнения (655) имеют вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/194.gif)
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/195.gif)
Первые три неравенства указывают на то, что характеристические точки с координатами (?; ?; ?) сходящихся переходных процессов располагаются только в пространстве с положительными значениями координат.
Положительное значение определителя Гурвица является необходимым и достаточным условием сходимости переходных процессов. Равенство нулю указанного определителя дает граничное условие между сходящимися и расходящимися процессами. После раскрытия определителя граничное условие примет вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/196.gif)
Уравнение (756) является квадратным относительно ? или ?; решение его
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/197.gif)
При ? < 2 подкоренное выражение становится отрицательным, что свидетельствует об отсутствии области устойчивости при любых значениях коэффициентов ? и ? (если ? < 2). При ? = 2 характеристические точки сходящихся процессов располагаются только на прямой ? == ?, выходящей из начала координат под углом 45° к осям ? и ? (рис. 253, а). При ? > 2 область сходящихся процессов располагается между двумя прямыми, выходящими из начала координат, уравнения которых имеют вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/198.gif)
Примеры диаграмм сходимости при различных значениях ? приведены на рис. 253.
Область сходящихся процессов (между прямыми) можно дополнить качественными характеристиками в виде границ областей существования корней определенного вида.
Характеристическое уравнение
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/150-199/199.gif)
Если воспользоваться методом Эйлера, то решение полученного уравнения следует искать в форме
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/200.gif)
Подстановка данной суммы в уравнение (759) приводит последнее к виду
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/201.gif)
При выборе решения уравнения (759) в форме (761) каких-либо ограничений на соотношение величин u, ? и w> не накладывалось, в связи с чем можно принять
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/202.gif)
Кубическое уравнение с вещественными коэффициентами по теореме Виетта можно представить в виде произведения
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/203.gif)
После раскрытия скобок и сопоставления с соотношениями (762) и (763) кубическое уравнение, называемое резольвентой, приводится к виду
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/204.gif)
Корни полученного кубического уравнения с известными коэффициентами могут быть найдены по уже изложенной выше методике, и, следовательно, могут быть определены значения и, ? и w. С помощью подстановки
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/205.gif)
уравнение (764) приводится к виду, не содержащему переменной второй степени:
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/206.gif)
Для подсчета корней уравнения (759) по формуле (761) могут быть использованы только те значения корней, которые удовлетворяют второму условию (762). Этих значений четыре, поэтому корни исходного уравнения (758) определяются выражениями
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/207.gif)
О корнях уравнения четвертой степени можно судить по характеру корней кубической резольвенты. Так, при
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/208.gif)
уравнение четвертой степени имеет два корня действительных и два комплексных сопряженных, а при
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/209.gif)
возможны два случая.
1. При выполнении неравенств s < 0 и s3 —4r > 0, которые после подстановки выражений (759) имеют вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/210.gif)
корни кубической резольвенты (764) являются положительными действительными числами. Корни уравнения (758) четвертой степени в этом случае — действительные числа, что свидетельствует о наличии только апериодических процессов.
2. Если одно из неравенств (765) не выполняется, то уравнение (758) имеет две пары комплексных сопряженных корней. Таким образом, уравнение
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/211.gif)
в зоне сходящихся процессов дает границу между областью только комплексных сопряженных корней (см. область I на рис. 253), где решение уравнения (655) имеет вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/212.gif)
и областью смешанных корней (область II), где решение уравнения (655) имеет вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/213.gif)
Аналогичное решение будет и в области монотонно сходящихся процессов (область II, а).
Область III является областью действительных отрицательных корней, т. е. областью апериодически сходящихся процессов. Решение уравнения (655) в этой области имеет вид
![](/images/stories/avtomatika-regulirovanija/5-chast/200-240/214.gif)
Область IV—область расходящихся переходных процессов, при которых система регулирования неустойчива.
|