Характер процессов в системе регулирования целиком опреде­ляется критериями подобия (662)—(668), которые являются коэф­фициентами нормированных дифференциальных уравнений (654), (655), (656) и др. систем автоматического регулирования.

В системах прямого регулирования с механическим регуля­тором без упругоприсоединенного катаракта таких критериев два (? и ?), поэтому все виды процессов, описываемых уравне­нием (654), можно представить на плоскости с координатами ? и ?. Диаграмма, полученная таким способом, была впервые предложена проф. И. А. Вышнеградским и названа его именем.

Согласно критериям Рауза—Гурвица переходные процессы, описываемые линейным дифференциальным уравнением (654), будут сходящимися, а система устойчивой только в том случае, если

? > 0; ? > 0 и ?? — 1 > 0.

Последнее неравенство является развернутым определителем Гурвица и представляет собой необходимое и достаточное условие сходимости переходных процессов и устойчивости систем авто­матического регулирования. Если это неравенство не выпол­няется, переходные процессы становятся расходящимися, а си­стема регулирования неустойчивой.

Таким образом, уравнение

?? — 1 = 0 (740)

является границей сходящихся и расходящихся переходных про­цессов. На поле диаграммы (рис. 251) уравнение (740) дает равнобокую гиперболу, проходящую в первом квадранте координатной

плоскости через точку с координа­тами ? = 1 и ? = 1. Гипербола 1 показывает, что переходные про­цессы будут сходящимися, а си­стема устойчивой, если характе­ристическая точка (?; ?) распо­лагается не только в первом квад­ранте (? > 0; ? > 0), но и правее и выше гиперболы, т. е. в области II.

Решением уравнения (654) является выражение

C₁, С₂, C₃ — постоянные интегрирования, зависящие от началь­ных условий и корней характеристического уравнения. Корни уравнения (742) определяются при помощи подстановки

После преобразования и введения новых обозначений коэф­фициентов

Так как коэффициент ? действителен, то все три корня урав­нения (742) действительны одновременно с корнями ? уравне­ния (745) или два из них есть комплексные сопряженные одно­временно с корнями ?.

Решение уравнения (745) должно быть представлено в виде суммы

Так как на соотношение величин u и ? каких-либо ограничений не накладывалось, можно принять, что

Если подставить полученное выражение в уравнение (746), то

Сравнение соотношений (747) и (748) показывает, что u³ и ?³ являются корнями квадратного уравнения

удовлетворяющие условию (747). Подстановка полученных фор­мул в выражение (743) дает искомые корни характеристического уравнения (742):

Если в корнях Кордана (749)

то u и ? — действительные различные числа, и тогда один из корней (750) является действительным числом, например р₁, а два других корня — комплексные сопряженные

то и и ? — комплексные сопряженные числа, в связи с чем корни (750) оказываются действительными числами, которые могут быть определены по формулам

Вычисления следует выполнять с помощью логарифмов. При наличии комплексных сопряженных корней характери­стического уравнения решение дифференциального уравнения (654) примет вид

Признаком наличия комплексных сопряженных корней урав­нения (745), а следовательно, и уравнения (742) является усло­вие (751). Если выполняется условие (752), то все корни характеристического уравнения—действительные числа. Следова­тельно, границей, разделяющей области действительных и ком­плексных сопряженных корней, т. е. границей апериодических и колебательных переходных процессов, описываемых уравне­нием (654), является уравнение

которое путем подстановки выражений (744) можно привести к виду

Полученное уравнение, симметричное относительно перемен­ных ? и ? дает на диаграмме (см. рис. 251) кривую 2, представ­ленную в первом квадранте двумя ветвями, сливающимися в точке A (? = 3; ? = 3) так, что общая к ним касательная со­ставляет с осями координат угол 45°. В области расходящихся процессов уравнение (755) при решении дает кривую 3.

Построенные таким образом кривые разделяют все поле диа­граммы на четыре области:

1 — область апериодически сходящихся процессов (см. кри­вую 2 на рис. 249, а)

Диаграмма проф. И. А. Вышнеградского дает представление о характере переходного процесса в системах третьего порядка.

Аналогичные диаграммы с выделением областей сходимости переходных процессов можно построить и для систем более вы­соких порядков. В частности, нормированное уравнение (655) систем четвертого порядка имеет три безразмерных коэффициента: ?; ? и ? поэтому характеристическая точка такой системы рас­полагается в пространстве. Диаграмма сходимости, построенная в пространственных координатах, неудобна в работе, в связи с чем можно использовать метод параллельных сечений плоско­стями, перпендикулярными, например, к оси ? (рис. 252). В каж­дой из таких плоскостей перемен­ными являются два коэффициента: ? и ? при постоянном значении коэффициента ?.

Критерии сходимости Рауза — Гурвица, выполнение которых обеспечивает сходимость переходного процесса, для уравнения (655) имеют вид

Первые три неравенства указывают на то, что характеристи­ческие точки с координатами (?; ?; ?) сходящихся переходных процессов располагаются только в пространстве с положитель­ными значениями координат.

Положительное значение определителя Гурвица является необходимым и достаточным условием сходимости переходных процессов. Равенство нулю указанного определителя дает гра­ничное условие между сходящимися и расходящимися процес­сами. После раскрытия определителя граничное условие примет вид

Уравнение (756) является квадратным относительно ? или ?; решение его

При ? < 2 подкоренное выражение становится отрицательным, что свидетельствует об отсутствии области устойчивости при лю­бых значениях коэффициентов ? и ? (если ? < 2). При ? = 2 характеристические точки сходящихся процессов располагаются только на прямой ? == ?, выходящей из начала координат под углом 45° к осям ? и ? (рис. 253, а). При ? > 2 область сходя­щихся процессов располагается между двумя прямыми, выходя­щими из начала координат, уравнения которых имеют вид

Примеры диаграмм сходимости при различных значениях ? приведены на рис. 253.

Область сходящихся процессов (между прямыми) можно до­полнить качественными характеристиками в виде границ областей существования корней определенного вида.

Характеристическое уравнение

Если воспользоваться методом Эйлера, то решение полученного уравнения следует искать в форме

Подстановка данной суммы в уравнение (759) приводит послед­нее к виду

При выборе решения уравнения (759) в форме (761) каких-либо ограничений на соотношение величин u, ? и w> не накладывалось, в связи с чем можно принять

Кубическое уравнение с вещественными коэффициентами по теореме Виетта можно представить в виде произведения

После раскрытия скобок и сопоставления с соотношениями (762) и (763) кубическое уравнение, называемое резольвентой, приво­дится к виду

Корни полученного кубического уравнения с известными коэффициентами могут быть найдены по уже изложенной выше методике, и, следовательно, могут быть определены значения и, ? и w. С помощью подстановки

уравнение (764) приводится к виду, не содержащему переменной второй степени:

Для подсчета корней уравнения (759) по формуле (761) могут быть использованы только те значения корней, которые удов­летворяют второму условию (762). Этих значений четыре, по­этому корни исходного уравнения (758) определяются выраже­ниями

О корнях уравнения четвертой степени можно судить по характеру корней кубической резольвенты. Так, при

уравнение четвертой степени имеет два корня действительных и два комплексных сопряженных, а при

возможны два случая.

1. При выполнении неравенств s < 0 и s³ —4r > 0, которые после подстановки выражений (759) имеют вид

корни кубической резольвенты (764) являются положительными действительными числами. Корни уравнения (758) четвертой степени в этом случае — действительные числа, что свидетель­ствует о наличии только апериодических процессов.

2. Если одно из неравенств (765) не выполняется, то уравне­ние (758) имеет две пары комплексных сопряженных корней. Таким образом, уравнение

в зоне сходящихся процессов дает границу между областью только комплексных сопряженных корней (см. область I на рис. 253), где решение уравнения (655) имеет вид

и областью смешанных корней (область II), где решение урав­нения (655) имеет вид

Аналогичное решение будет и в области монотонно сходящихся процессов (область II, а).

Область III является областью действительных отрицатель­ных корней, т. е. областью апериодически сходящихся процес­сов. Решение уравнения (655) в этой области имеет вид

Область IV—область расходящихся переходных процессов, при которых система регулирования неустойчива.