Критерий устойчивости А. В. Михайлова более удобен при иссле­довании устойчивости систем, процессы которых описываются уравнениями высоких порядков (пятого и выше).

Пусть процессы исследуемой системы описываются линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами

При решении характеристического уравнения такой системы

можно найти п корней р₁, р₂, ..., р_п-1 р_п.

По известным корням можно представить уравнение (766) в виде произведения двучленов:

Диаграмма И. А. Вышнеградского (см. рис. 251) свидетель­ствует о том, что границей между сходящимися и расходящимися переходными процессами, т. е. между устойчивыми и неустой­чивыми системами автомати­ческого регулирования, яв­ляется гипербола 1.

На этой гиперболе дей­ствительная часть комплекс­ных сопряженных корней оказывается равной нулю (? = 0) и корни являются чисто мнимыми (р₂,₃ = ± i?). Наличие таких корней свидетельствует о появлении в переходном процессе колебатель­ной составляющей с постоянной амплитудой колебаний. Этим признаком границы устойчивости часто пользуются в теории авто­матического регулирования (например, при получении частотных характеристик), при этом частоту колебаний чаще обозначают буквой ? вместо использованной выше ?.

Это граничное условие (р = i?) может быть использовано и для получения критерия устойчивости.

В соответствии с предлагаемым методом в уравнение (767) вводится подстановка р = i?, где ? —частота колебаний, значе­ние которой может изменяться от 0 до +?.

Уравнение (767) в этом случае примет вид

Каждый из двучленов данного уравнения является комплекс­ным числом и поэтому может быть представлен в виде вектора на комплексной плоскости: по оси абсцисс откладывается дей­ствительная часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимая (рис. 254).

Если положительным выбрать направление осей от начала координат вправо и вверх, то все действительные части двучленов, образованные положительными корнями характеристического уравнения (i? —р₄) ... (i? —р₃), откладываются по оси абсцисс влево, а все действительные части двучленов, образованные отрицательными корнями характеристического уравнения (i?+ | p₂ |) … (i? + |p₁|), откладываются по оси абсцисс вправо. По оси ординат откладывается мнимая величина i?, причем ?, принимаемая в качестве переменной, изменяется от —? до +?.

При ? = 0 все векторы двучленов совпадают с осью абсцисс (например, Оа на рис. 254 при р₂ и Оа₁ при р₄). При ? > 0 вектор двучлена, образующийся прямой, соединяющей начало коорди­нат с точкой на координатной плоскости с координатами р_k и i?, поворачивается по мере увеличения ? от горизонтального положения при ? = 0 до вертикального положения при ? = +?. Конец вектора движется при этом по вертикали от а к b и далее. Таким образом, при изменении ? от 0 до +? все векторы пово­рачиваются на угол ?/2, однако направление поворота зависит от алгебраического знака действительной части двучлена, т. е. от знака корня характеристического уравнения. Если корень отрицателен, то вектор при 0 ? ? ?+? направлен вправо, и поворот его на угол ?/2 осуществляется против часовой стрелки; если корень положителен, то вектор, направленный влево, поворачивается на угол ?/2 по часовой стрелке.

Рассмотрим теперь (при изменении ? от 0 до +?) поворот вектора двучленов вида

образованных отрицательными корнями характеристического уравнения. После раскрытия скобок произведение имеет вид

и показывает, что при ? = 0 вектор h₂ (?) = р₁р₂ совпадает с осью абсцисс и направлен вправо. Поворот на угол ?/2 против часовой стрелки совершится при ?² = р₁р₂, а при ? = +? угол поворота достигнет значения ?, так как действительная часть комплексного числа получит значение —?. Сказанное остается справедливым, если корни р₁ и р₂ являются комплексными сопря­женными числами с отрицательной действительной частью. Так как

Вектор повернется на угол ?/2 против часовой стрелки при ?² = ?² + ?².

Можно показать, что при положительных значениях р₁, р₂ или а поворот вектора на угол ? при изменении ? от 0 до +? произойдет в направлении движения часовой стрелки.

Можно показать также, что вектор произведения трех дву­членов

при изменении ? от 0 до +? повернется на угол 3?/2. Если рас­крыть скобки, то

При ? = 0 вектор h₃ (?) = р₁р₂р₃ > 0. При ? = p₁p₂p₃ / (p₁ + р₂ + р₃) вектор повернется против часовой стрелки на угол ?/2. При ?² = p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ поворот вектора достигнет угла 2?/2, и при ? ? +? вектор повернется на угол 3?/2 против часовой стрелки, если корни характеристического уравнения имеют отри­цательные действительные части.

При увеличении числа двучленов в произведении векторы h₄ (?), h₅ (?) и другие при тех же условиях изменения ? от 0 до + ? будут совершать поворот на угол 4 ?/2, 5 ?/2 и др.

Этим методом и пользуются для оценки устойчивости системы автоматического регулирования при помощи критериев А. В. Ми­хайлова.

Для получения вектора всего характеристического уравне­ния (766) в виде

в уравнении, например, седьмой степени

необходимо произвести подстановку р = i?, которая дает

Как было выяснено, переходные процессы являются сходя­щимися, а система регулирования устойчивой только в том слу­чае, когда все действительные корни, а также все действительные части всех комплексных сопряженных корней характеристиче­ского уравнения (766) являются отрицательными. В этом случае вектор Н (?) повернется против часовой стрелки на угол n?/2 при изменении ? от 0 до +?. Следовательно, годограф вектора Н (?) (рис. 255, а) пройдет против часовой стрелки число ква­дрантов, соответствующее порядку дифференциального уравнения.

Если среди n корней характеристического уравнения есть m корней положительных (действительных или с положительной действительной частью), то вектор Н (?) повернется против ча­совой стрелки на угол (n — m) ?/2 при изменении ? от 0 до +?. Такой поворот вектора свидетельствует о расходимости переход­ного процесса и, следовательно, о неустойчивости системы регу­лирования. Годографы вектора H (?) при расходящихся процессах представлены на рис. 255, б и в.

Таким образом, критерий устойчивости Михайлова сводится к тому, что процессы являются сходящимися, а система устой­чивой только при следующих условиях:

годограф вектора Н (?) при изменении ? от 0 до + ? для уравнения n-го порядка проходит последовательно n квадрантов;

вектор Н (?) должен поворачиваться против часовой стрелки.

Для того чтобы воспользоваться этим критерием для оценки устойчивости системы автоматического регулирования, необхо­димо в характеристическое уравнение системы подставить р = i? и построить годограф (768) при изменении ? от 0 до +?. Вид этого годографа и даст искомый ответ.

На основании критериев устойчивости А. В. Михайлова можно сделать вывод, что при устойчивой системе вектор Н (?), двигаясь против часовой стрелки, должен поочередно пересекать действи­тельную и мнимую оси координатной плоскости (рис. 255, а), причем при совпадении вектора Н (?) с действительной осью

? (?) = 0, (769)

а при совпадении с мнимой осью

u (?) = 0.       (770)

Таким образом, значения ? в эти моменты являются корнями уравнений (769) и (770).

Следовательно, при сходящихся процессах исследуемой си­стемы и изменении ? от 0 до +? значения корней уравнений (769) и (770) должны чередоваться одно с другим.

Степень этих уравнений значительно ниже степени характе­ристического уравнения, поэтому определение их корней не представляет трудности для характеристических уравнений до пятой степени включительно, о чем свидетельствуют следующие данные:

Таким образом, для оценки устойчивости системы автоматиче­ского регулирования необходимо найти корни уравнений (769) и (770). Исследуемая система регулирования устойчива, если корни уравнений (769) и (770) чередуются по величине.

Такая оценка устойчивости систем автоматического регули­рования иногда называется следствием критерия устойчивости Михайлова.