Для суждения об устойчивости системы автоматического регули­рования необходимо найти корни характеристического уравне­ния и определить их знаки. Такой путь решения задачи об устой­чивости требует значительного количества времени, особенно когда необходимо провести исследования системы на многих рабочих режимах.

В связи с этим возникла идея отыскания таких условий и признаков, по которым можно было бы судить об устойчивости системы регулирования, не прибегая к решению характеристи­ческого уравнения.

С такой задачей столкнулся Максвелл, когда в процессе мате­матического исследования устойчивости системы автоматического регулирования обнаружил, что система n-го порядка устойчива лишь в том случае, когда все действительные части корней алгеб­раического уравнения п-й степени (характеристического для иссле­дуемой системы) отрицательны.

По его просьбе в период 1873—1877 гг. математиком Раузом были найдены необходимые достаточные условия получения отри­цательных значений действительной части корней характеристи­ческих уравнений n-й степени. Эти условия были записаны Рау­зом в виде неравенств, составленных из коэффициентов уравне­ния, причем число неравенств увеличивалось при повышении порядка дифференциального уравнения.

Несколько позже с аналогичной задачей А. Стодола обратился к математику Цюрихского политехникума А. Гурвицу.

В 1895 г. А. Гурвиц нашел условия сходимости переходных процессов, выразив их в удобной для вычислений детерминантной форме. Так как суть критериев сходимости Рауза и Гурвица оказалась одной и той же и раскрытие детерминантов Гурвица приводит к неравенствам Рауза, указанные критерии позже стали называть критериями сходимости (устойчивости) Рауза— Гурвица.

В соответствии с теоремой Виетта характеристическое уравне­ние вида

при известных корнях р₁; р₂; ...; р_п можно представить в виде произведения

При условии, что все корни характеристического уравнения отрицательны, это произведение примет вид

Так как в рассматриваемом случае в произведении (729) отри­цательных величин нет, коэффициенты уравнения (730) могут быть только положительными.

Если сравнить уравнения (728) и (730), то

поэтому необходимым условием устойчивости системы автоматиче­ского регулирования являются положительные значения всех входящих в уравнение коэффициентов:

Для простейших случаев, например для уравнений первого и второго порядков, это необходимое условие является одновре­менно и достаточным. Сказанное подтверждается общим интегра­лом (501) уравнения первого порядка при T_д > 0 и k_д > 0 и формулой (506) корней характеристического уравнения второй степени при T_p² > 0; T_к > 0 и ?_z > 0.

Полученные условия сохраняются, если среди корней харак­теристического уравнения есть несколько пар комплексных сопряженных корней. В этом случае произведение двучленов имеет вид

что подтверждает невозможность получения при раскрытии скобок отрицательных коэффициентов характеристического уравнения при ?_j < 0.

В более сложных случаях (уравнения третьей степени и выше) наличие положительных коэффициентов дифференциального урав­нения оказывается условием только необходимым, и требуется найти некоторые дополнительные условия устойчивости, которые должны быть необходимыми и достаточными.  Пусть, например, уравнение (728) имеет третью степень. У него один действительный и два комплексных сопряженных корня. В этом случае произведение двучленов имеет вид

где

Из соотношения (734) видно, что отношение коэффициентов может быть положительным только при р₁ < 0. Отношения коэф­фициентов А₂/А₃ и А₁/А₃ на алгебраический знак действительной части ? комплексных сопряженных корней явных условий не накладывают, так как возможны положительные значения этих отношений и при ? > 0, когда система неустойчива.

Если действительный корень р₁ отрицателен, то для устой­чивости системы необходимо, чтобы и ? была отрицательной. Таким образом, границей между устойчивой и неустойчивой зо­нами по величине ? является условие ? = 0. Для граничного условия ? = 0 выражения (732), (733) и (734) принимают вид

Исключая из этих соотношений величины ?² и —р₁, получим разность

которую можно представить в виде определителя

При ? ? 0 условие (736) не выполняется.

Алгебраический знак определителя (736) для области сходя­щихся процессов можно легко установить, если положить, напри­мер, что р₁ = —1,0; ? = —1,0 и ? = +1,0. По формулам (732)— (734) A₂/A₃ = 3 > 0; A₁/A₃= 3 > 0; A₀/A₃ = 2 > 0, и тогда разность (735)

Для неустойчивой системы регулирования (? > 0) условие положительного знака определителя не выполняется.

Так, если p₁ = —1,0; ? = +0,1; ? = +1,0, то необходимое условие устойчивости системы (положительный знак коэффи­циентов уравнения) выполняется (A₂/A₃ = 0,8 > 0; А₁/А₃ = — 0,80 > 0; А₀/А₃ = 1,01 > 0), а условие положительного знака определителя не выполняется, так как

Таким образом, положительный алгебраический знак опре­делителя (736) является достаточным условием сходимости пере­ходного процесса и, следовательно, устойчивости системы авто­матического регулирования.

Критерий устойчивости в форме определителя

является частным случаем определителя, предложенного в 1895 г. проф. Гурвицем.

Определитель Гурвица можно составить для уравнения любого порядка следующим образом. По главной диагонали слева вниз направо выписываются все коэффициенты уравнения, начиная с коэффициента А_п-1 при втором члене и кончая коэффициен­том А₁ предпоследнего члена включительно. Столбцы от диагонали вверх дополняются коэффициентами с индексами, убывающими на единицу, а столбцы от диагонали вниз дополняются коэффициен­тами с индексами, возрастающими на единицу.

Все места, которые должны были бы заполняться коэффициен­тами ниже А_n и выше A₀, заполняются нулями.

Для уравнения n-го порядка главный определитель Гурвица имеет вид

Процессы будут сходящимися, а система устойчивой, если все коэффициенты уравнения, главный определитель Гурвица (737) и все диагональные миноры

и т. д. имеют положительный знак [1, 5, 11, 22, 24, 26].