При работе двигателя на равновесном режиме его основные пара­метры (угловая скорость коленчатого вала, положение рейки топливного насоса, предварительная деформация пружин регу­лятора и др.) остаются неизменными во времени.

При нарушении равновесного режима в системе двигатель— потребитель появляется избыток или недостаток энергии, выра­батываемой двигателем, в связи с чем угловая скорость коленча­того вала начинает меняться во времени, автоматический регу­лятор перемещает рейку топливного насоса, изменяя подачу топлива в цилиндры, и т. д. В этих условиях двигатель работает на неравновесных режимах, при которых параметры, характери­зующие работу двигателя, изменяются во времени. Процесс, происходящий при смене равновесного режима или при возвра­щении двигателя в равновесное состояние после возмущающего воздействия и характеризующийся изменением параметров во времени, называется переходным процессом.

Характер переходного процесса отражает динамические свой­ства системы автоматического регулирования двигателя и поэтому подлежит исследованию при создании этой системы или изучении ее работы. Обычно наибольший интерес при подобных исследова­ниях представляет изучение зависимости регулируемого параметра от времени. В рассматриваемых системах таким параметром в большинстве случаев является угловая скорость ? коленчатого вала двигателя. Регулируемой координатой в безразмерной форме является отношение

? = ??/?₀,

поэтому математическим выражением переходного процесса слу­жит функциональная зависимость

? = f (t) или ? = f(?),

которую можно определить решением (отысканием общего инте­грала) дифференциального уравнения (592) системы автоматиче­ского регулирования.

В общем случае это уравнение имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения (592) и, сле­довательно, математическое выражение переходного процесса системы находятся в виде суммы решений: общего решения

неоднородного уравнения (592).

Как известно, решение (718) описывает свободный переходный процесс исследуемой системы, когда возмущающее воздействие является лишь причиной появления переходного процесса и не влияет на систему в период самого переходного процесса. Такие процессы описываются линейными однородными дифференциаль­ными уравнениями

Характер переходного процесса в этом случае полностью опре­деляется параметрами элементов, входящих в систему.

Решение (719) описывает вынужденный переходный процесс под влиянием постоянно действующих возмущений в виде ?_д = f_д (t) или ?_р = f_р (t).

Таким образом, для выявления переходного процесса системы регулирования необходимо найти решение неоднородного диф­ференциального уравнения системы в виде суммы

? = ?₁ + ?₂,

которое обычно называют общим интегралом.

Как известно, решение однородного уравнения имеет вид

где С_j и р_rj — некоторые постоянные величины.

Подставляя выражение (721) в уравнение (720), найдем

Полученное алгебраическое уравнение называют характери­стическим. Оно имеет шесть корней:

удовлетворяющих дифференциальному уравнению (720) при любых постоянных значениях Сj. Поэтому все значения выражений (723) являются частными решениями (720).

Общее решение или общий интеграл однородного уравнения — это сумма частных решений; следовательно,

Постоянные интегрирования С₁, С₂, С₃, ..., C_k выбирают при известных корнях характеристического уравнения с учетом на­чальных условий (при t = +0).

Из характеристического уравнения (722) следует, что впредь в качестве характеристических уравнений систем могут быть приняты операторные полиномы, полученные при развертывании главных определителей ? систем автоматического регулирования, если оператор р принять в них за некоторую искомую алгебраи­ческую величину.

Таким образом, в соответствии с выражением (720) характе­ристическое уравнение системы можно записать в виде

а общий интеграл однородного уравнения (720) так:

где п — порядок дифференциального уравнения.

Корни р_j уравнения (724) могут быть действительными (по­ложительными или отрицательными) величинами или комплекс­ными сопряженными:

В последнем случае решению уравнения (720) можно придать тригонометрическую форму с помощью формул Эйлера (513) и (514).

В общем случае, если характеристическое уравнение имеет k корней действительных и п — k комплексных сопряженных, то

Выражения общих интегралов (725) и (726) показывают, что характер свободного переходного процесса определяется значе­нием и знаком корней характеристического уравнения (722).

Переходный процесс является апериодическим только в том случае, когда все корни характеристиче­ского уравнения — действительные величины. Общий интеграл (725) показывает, что такой процесс состоит из суммы n экс­понент.

Суммарное значение стремится к нулю только тогда, когда все корни характеристического уравнения (722) действительные отрицательные числа. Такой переходный процесс называется апериодическим сходящимся (кривая 2 на рис. 249, а).

Если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один действительный положительный корень, то первоначаль­ное отклонение ?_j0 будет увеличиваться во времени (угловая ско­рость ? вала двигателя будет неограниченно возрастать или, наоборот, уменьшаться в пределе до нуля, уходя от заданного скоростного режима). Такой переходный процесс (кривая 1 на рис. 249, а) называется апериодическим расходящимся.

При наличии среди корней характеристического уравнения хотя бы пары комплексных сопряженных корней переходный процесс описывается общим интегралом (726) и называется коле­бательным. Колебательные процессы, так же как и апериодиче­ские, могут быть сходящимися и расходящимися.

Колебательная составляющая ?_1j = C_je^?jt sin (?_jt + ?_j) пере­ходного процесса ?₁ = f₁ (t) является сходящейся, если амплитуд­ные значения уменьшаются во времени, стремясь к нулю (рис. 249, б). Это возможно лишь при отрицательном значении действительной части ?_j < 0 комплексных сопряжений корней p_{j; j+1} = ?_о ± i?_j характеристического уравнения.

Если ?_j > 0, то первоначальное отклонение ?_j0 увеличивается со временем, и составляющая ?_1j переходного процесса является колебательной расходящейся (рис. 249, в). Если ?_j = 0 (корни характеристического уравнения мнимые), составляющая ?_1j имеет постоянную амплитуду колебаний (рис. 249, г) — несходящийся процесс.

На рис. 249, д приведен сходящийся колебательный процесс ?₁ = C₁e^pt = Ce^?t sin (?t + ?), описываемый линейным диф­ференциальным уравнением (601) третьего порядка при ?_д = ?_р = 0. При уравнениях более высокого порядка этот процесс можно рассматривать в качестве сложной составляющей ?_1j = С_1je^pjt + C_j+1e^?jt sin (?_jt + ?_j) общего переходного про­цесса ?₁ = f₁ (t). Сходимость процесса может быть нарушена из-за расходимости одной из составляющих, например колебательной (рис. 249, е).

Таким образом, сходящийся переходный процесс (апериодиче­ский или колебательный) существует только при отрицательных действительных корнях и при отрицательной действительной части комплексных сопряженных корней характеристического уравне­ния. Наличие хотя бы одного положительного действительного корня или положительной действительной части одной из пар комплексных сопряженных корней делает переходный процесс расходящимся.

Составляющая (719) появляется за счет постоянно действующих в системе возмущающих или управляющих воздействий.

Как показывает уравнение (592), источником вынужденного движения может служить перемещение ?_р органа настройки авто­матического регулятора (управляющее воздействие). Однако в те­чение переходного процесса орган настройки обычно неподвижен (?_p = 0).

Более сложным может оказаться закон изменения нагрузки двигателя (возмущающее воздействие):

?_д = f_д(t). (727)

Если зависимость (727) задана, то в соответствии с ней находят и решение (719).

При оценке работоспособности систем автоматического регули­рования принято рассматривать не произвольные, а наиболее характерные случаи возмущения, как правило, наиболее тяжелые для работы системы.

К числу таких характерных возмущений относятся, например, резкие единичные сбросы и набросы нагрузки в диапазоне от пол­ной нагрузки до холостого хода, резкие единичные переключения регулятора с максимального регулируемого скоростного режима на минимальный и наоборот. Такие возмущения, называемые сту­пенчатыми, обусловливают постоянство возмущающей коорди­наты (?_д = const; ?_р = const) в течение переходного процесса (см. рис. 248, б) при t ? + 0.

Возмущение может иметь вид единичного импульса, если после резкого сброса нагрузки здесь же следует восстановление нагрузки до прежнего уровня или резкое смещение органа управления с последующим возвращением его в исходное положение. Более сложные случаи возмущения возникают, когда зависимости ?_д = f_д(t) и ?_р = f_р (t) имеют колебательный характер. При оценке устойчивости систем автоматического регулирования особое внимание уделяют изучению свободных переходных процессов, характер которых полностью определяется свойствами элементов, входящих в систему автоматического регулирования.

Для простоты записи регулируемый параметр ф₄при свободном переходном процессе далее не будет иметь индекса «1».