В общем случае возмущение ?_в системы автоматического регули­рования двигателя может быть сложным периодическим с перио­дом колебаний T = 2? / ?, где ? — частота возмущающего Воздействия (рис. 248, а). Однако известно, что сложную периодиче­скую функцию ?_в = f (t) можно разложить на ее гармонические составляющие с помощью ряда Фурье:

здесь k — порядок гармоники; а₀; а_к; b_k—коэффициенты Фурье, определяемые формулами

где ?₀ — частота основной гармоники; T — период колебаний.

Ряд Фурье имеет и другую форму записи, к которой можно перейти с помощью формул Эйлера (513) и (514):

Если воспользоваться выражениями (700), то k-й гармонике ряда Фурье можно придать вид

В полученное выражение можно ввести новые комплексные сопряженные коэффициенты ряда Фурье

С учетом этих обозначений k-я гармоника ряда

Таким образом, в каждой гармонике появилось два коэффи­циента, один из которых подсчитывают при +k, другой при —k. Действительно,

Свойства систем автоматического регулирования двигателей изучают, как правило, при типовых возмущениях. К числу та­ких возмущений относится единичное ступенчатое (см. рис. 248, б), при котором ?_в = ?_в0 = const, если t ? + 0, и ?_в = 0, если t ? —0. В случае периодической прямоугольной функции (см. рис. 248, в)

Однако ступенчатая функция (см. рис. 248, б) — лишь частный случай прямоугольной периодической функции при периоде возмущающего воздействия T ? ?. В этом случае частота коле­баний ?₀ ? d?. Так как k?₀ = 0, то 1/k = ?₀/?. В рассматриваемом случае ?₀/? ? d?/?; тогда при ?₀ ?d? и k ? ? e^-ik?? 0.

После замены бесконечного ряда слагаемых интегралом формула (705) примет вид

Общепринятым типовым возмущением является не только ступенчатое возмущение при t = +0, но и единичное возмущение, когда ?_ВО = 1. В этом случае