При работе двигателя на равновесном режиме его основные параметры (угловая скорость коленчатого вала, положение рейки топливного насоса, предварительная деформация пружин регулятора и др.) остаются неизменными во времени.
При нарушении равновесного режима в системе двигатель— потребитель появляется избыток или недостаток энергии, вырабатываемой двигателем, в связи с чем угловая скорость коленчатого вала начинает меняться во времени, автоматический регулятор перемещает рейку топливного насоса, изменяя подачу топлива в цилиндры, и т. д. В этих условиях двигатель работает на неравновесных режимах, при которых параметры, характеризующие работу двигателя, изменяются во времени. Процесс, происходящий при смене равновесного режима или при возвращении двигателя в равновесное состояние после возмущающего воздействия и характеризующийся изменением параметров во времени, называется переходным процессом.
Характер переходного процесса отражает динамические свойства системы автоматического регулирования двигателя и поэтому подлежит исследованию при создании этой системы или изучении ее работы. Обычно наибольший интерес при подобных исследованиях представляет изучение зависимости регулируемого параметра от времени. В рассматриваемых системах таким параметром в большинстве случаев является угловая скорость ? коленчатого вала двигателя. Регулируемой координатой в безразмерной форме является отношение
? = ??/?0,
поэтому математическим выражением переходного процесса служит функциональная зависимость
? = f (t) или ? = f(?),
которую можно определить решением (отысканием общего интеграла) дифференциального уравнения (592) системы автоматического регулирования.
В общем случае это уравнение имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения (592) и, следовательно, математическое выражение переходного процесса системы находятся в виде суммы решений: общего решения
неоднородного уравнения (592).
Как известно, решение (718) описывает свободный переходный процесс исследуемой системы, когда возмущающее воздействие является лишь причиной появления переходного процесса и не влияет на систему в период самого переходного процесса. Такие процессы описываются линейными однородными дифференциальными уравнениями
Характер переходного процесса в этом случае полностью определяется параметрами элементов, входящих в систему.
Решение (719) описывает вынужденный переходный процесс под влиянием постоянно действующих возмущений в виде ?д = fд (t) или ?р = fр (t).
Таким образом, для выявления переходного процесса системы регулирования необходимо найти решение неоднородного дифференциального уравнения системы в виде суммы
? = ?1 + ?2,
которое обычно называют общим интегралом.
Как известно, решение однородного уравнения имеет вид
где Сj и рrj — некоторые постоянные величины.
Подставляя выражение (721) в уравнение (720), найдем
Полученное алгебраическое уравнение называют характеристическим. Оно имеет шесть корней:
удовлетворяющих дифференциальному уравнению (720) при любых постоянных значениях Сj. Поэтому все значения выражений (723) являются частными решениями (720).
Общее решение или общий интеграл однородного уравнения — это сумма частных решений; следовательно,
Постоянные интегрирования С1, С2, С3, ..., Ck выбирают при известных корнях характеристического уравнения с учетом начальных условий (при t = +0).
Из характеристического уравнения (722) следует, что впредь в качестве характеристических уравнений систем могут быть приняты операторные полиномы, полученные при развертывании главных определителей ? систем автоматического регулирования, если оператор р принять в них за некоторую искомую алгебраическую величину.
Таким образом, в соответствии с выражением (720) характеристическое уравнение системы можно записать в виде
а общий интеграл однородного уравнения (720) так:
где п — порядок дифференциального уравнения.
Корни рj уравнения (724) могут быть действительными (положительными или отрицательными) величинами или комплексными сопряженными:
В последнем случае решению уравнения (720) можно придать тригонометрическую форму с помощью формул Эйлера (513) и (514).
В общем случае, если характеристическое уравнение имеет k корней действительных и п — k комплексных сопряженных, то
Выражения общих интегралов (725) и (726) показывают, что характер свободного переходного процесса определяется значением и знаком корней характеристического уравнения (722).
Переходный процесс является апериодическим только в том случае, когда все корни характеристического уравнения — действительные величины. Общий интеграл (725) показывает, что такой процесс состоит из суммы n экспонент.
Суммарное значение стремится к нулю только тогда, когда все корни характеристического уравнения (722) действительные отрицательные числа. Такой переходный процесс называется апериодическим сходящимся (кривая 2 на рис. 249, а).
Если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один действительный положительный корень, то первоначальное отклонение ?j0 будет увеличиваться во времени (угловая скорость ? вала двигателя будет неограниченно возрастать или, наоборот, уменьшаться в пределе до нуля, уходя от заданного скоростного режима). Такой переходный процесс (кривая 1 на рис. 249, а) называется апериодическим расходящимся.
При наличии среди корней характеристического уравнения хотя бы пары комплексных сопряженных корней переходный процесс описывается общим интегралом (726) и называется колебательным. Колебательные процессы, так же как и апериодические, могут быть сходящимися и расходящимися.
Колебательная составляющая ?1j = Cje?jt sin (?jt + ?j) переходного процесса ?1 = f1 (t) является сходящейся, если амплитудные значения уменьшаются во времени, стремясь к нулю (рис. 249, б). Это возможно лишь при отрицательном значении действительной части ?j < 0 комплексных сопряжений корней pj; j+1 = ?о ± i?j характеристического уравнения.
Если ?j > 0, то первоначальное отклонение ?j0 увеличивается со временем, и составляющая ?1j переходного процесса является колебательной расходящейся (рис. 249, в). Если ?j = 0 (корни характеристического уравнения мнимые), составляющая ?1j имеет постоянную амплитуду колебаний (рис. 249, г) — несходящийся процесс.
На рис. 249, д приведен сходящийся колебательный процесс ?1 = C1ept = Ce?t sin (?t + ?), описываемый линейным дифференциальным уравнением (601) третьего порядка при ?д = ?р = 0. При уравнениях более высокого порядка этот процесс можно рассматривать в качестве сложной составляющей ?1j = С1jepjt + Cj+1e?jt sin (?jt + ?j) общего переходного процесса ?1 = f1 (t). Сходимость процесса может быть нарушена из-за расходимости одной из составляющих, например колебательной (рис. 249, е).
Таким образом, сходящийся переходный процесс (апериодический или колебательный) существует только при отрицательных действительных корнях и при отрицательной действительной части комплексных сопряженных корней характеристического уравнения. Наличие хотя бы одного положительного действительного корня или положительной действительной части одной из пар комплексных сопряженных корней делает переходный процесс расходящимся.
Составляющая (719) появляется за счет постоянно действующих в системе возмущающих или управляющих воздействий.
Как показывает уравнение (592), источником вынужденного движения может служить перемещение ?р органа настройки автоматического регулятора (управляющее воздействие). Однако в течение переходного процесса орган настройки обычно неподвижен (?p = 0).
Более сложным может оказаться закон изменения нагрузки двигателя (возмущающее воздействие):
?д = fд(t). (727)
Если зависимость (727) задана, то в соответствии с ней находят и решение (719).
При оценке работоспособности систем автоматического регулирования принято рассматривать не произвольные, а наиболее характерные случаи возмущения, как правило, наиболее тяжелые для работы системы.
К числу таких характерных возмущений относятся, например, резкие единичные сбросы и набросы нагрузки в диапазоне от полной нагрузки до холостого хода, резкие единичные переключения регулятора с максимального регулируемого скоростного режима на минимальный и наоборот. Такие возмущения, называемые ступенчатыми, обусловливают постоянство возмущающей координаты (?д = const; ?р = const) в течение переходного процесса (см. рис. 248, б) при t ? + 0.
Возмущение может иметь вид единичного импульса, если после резкого сброса нагрузки здесь же следует восстановление нагрузки до прежнего уровня или резкое смещение органа управления с последующим возвращением его в исходное положение. Более сложные случаи возмущения возникают, когда зависимости ?д = fд(t) и ?р = fр (t) имеют колебательный характер. При оценке устойчивости систем автоматического регулирования особое внимание уделяют изучению свободных переходных процессов, характер которых полностью определяется свойствами элементов, входящих в систему автоматического регулирования.
Для простоты записи регулируемый параметр ф4при свободном переходном процессе далее не будет иметь индекса «1».
|