Критерий устойчивости А. В. Михайлова более удобен при исследовании устойчивости систем, процессы которых описываются уравнениями высоких порядков (пятого и выше).
Пусть процессы исследуемой системы описываются линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами
При решении характеристического уравнения такой системы
можно найти п корней р1, р2, ..., рп-1 рп.
По известным корням можно представить уравнение (766) в виде произведения двучленов:
Диаграмма И. А. Вышнеградского (см. рис. 251) свидетельствует о том, что границей между сходящимися и расходящимися переходными процессами, т. е. между устойчивыми и неустойчивыми системами автоматического регулирования, является гипербола 1.
На этой гиперболе действительная часть комплексных сопряженных корней оказывается равной нулю (? = 0) и корни являются чисто мнимыми (р2,3 = ± i?). Наличие таких корней свидетельствует о появлении в переходном процессе колебательной составляющей с постоянной амплитудой колебаний. Этим признаком границы устойчивости часто пользуются в теории автоматического регулирования (например, при получении частотных характеристик), при этом частоту колебаний чаще обозначают буквой ? вместо использованной выше ?.
Это граничное условие (р = i?) может быть использовано и для получения критерия устойчивости.
В соответствии с предлагаемым методом в уравнение (767) вводится подстановка р = i?, где ? —частота колебаний, значение которой может изменяться от 0 до +?.
Уравнение (767) в этом случае примет вид
Каждый из двучленов данного уравнения является комплексным числом и поэтому может быть представлен в виде вектора на комплексной плоскости: по оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимая (рис. 254).
Если положительным выбрать направление осей от начала координат вправо и вверх, то все действительные части двучленов, образованные положительными корнями характеристического уравнения (i? —р4) ... (i? —р3), откладываются по оси абсцисс влево, а все действительные части двучленов, образованные отрицательными корнями характеристического уравнения (i?+ | p2 |) … (i? + |p1|), откладываются по оси абсцисс вправо. По оси ординат откладывается мнимая величина i?, причем ?, принимаемая в качестве переменной, изменяется от —? до +?.
При ? = 0 все векторы двучленов совпадают с осью абсцисс (например, Оа на рис. 254 при р2 и Оа1 при р4). При ? > 0 вектор двучлена, образующийся прямой, соединяющей начало координат с точкой на координатной плоскости с координатами рk и i?, поворачивается по мере увеличения ? от горизонтального положения при ? = 0 до вертикального положения при ? = +?. Конец вектора движется при этом по вертикали от а к b и далее. Таким образом, при изменении ? от 0 до +? все векторы поворачиваются на угол ?/2, однако направление поворота зависит от алгебраического знака действительной части двучлена, т. е. от знака корня характеристического уравнения. Если корень отрицателен, то вектор при 0 ? ? ?+? направлен вправо, и поворот его на угол ?/2 осуществляется против часовой стрелки; если корень положителен, то вектор, направленный влево, поворачивается на угол ?/2 по часовой стрелке.
Рассмотрим теперь (при изменении ? от 0 до +?) поворот вектора двучленов вида
образованных отрицательными корнями характеристического уравнения. После раскрытия скобок произведение имеет вид
и показывает, что при ? = 0 вектор h2 (?) = р1р2 совпадает с осью абсцисс и направлен вправо. Поворот на угол ?/2 против часовой стрелки совершится при ?2 = р1р2, а при ? = +? угол поворота достигнет значения ?, так как действительная часть комплексного числа получит значение —?. Сказанное остается справедливым, если корни р1 и р2 являются комплексными сопряженными числами с отрицательной действительной частью. Так как
Вектор повернется на угол ?/2 против часовой стрелки при ?2 = ?2 + ?2.
Можно показать, что при положительных значениях р1, р2 или а поворот вектора на угол ? при изменении ? от 0 до +? произойдет в направлении движения часовой стрелки.
Можно показать также, что вектор произведения трех двучленов
при изменении ? от 0 до +? повернется на угол 3?/2. Если раскрыть скобки, то
При ? = 0 вектор h3 (?) = р1р2р3 > 0. При ? = p1p2p3 / (p1 + р2 + р3) вектор повернется против часовой стрелки на угол ?/2. При ?2 = p1p2 + p1p3 + p2p3 поворот вектора достигнет угла 2?/2, и при ? ? +? вектор повернется на угол 3?/2 против часовой стрелки, если корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части.
При увеличении числа двучленов в произведении векторы h4 (?), h5 (?) и другие при тех же условиях изменения ? от 0 до + ? будут совершать поворот на угол 4 ?/2, 5 ?/2 и др.
Этим методом и пользуются для оценки устойчивости системы автоматического регулирования при помощи критериев А. В. Михайлова.
Для получения вектора всего характеристического уравнения (766) в виде
в уравнении, например, седьмой степени
необходимо произвести подстановку р = i?, которая дает
Как было выяснено, переходные процессы являются сходящимися, а система регулирования устойчивой только в том случае, когда все действительные корни, а также все действительные части всех комплексных сопряженных корней характеристического уравнения (766) являются отрицательными. В этом случае вектор Н (?) повернется против часовой стрелки на угол n?/2 при изменении ? от 0 до +?. Следовательно, годограф вектора Н (?) (рис. 255, а) пройдет против часовой стрелки число квадрантов, соответствующее порядку дифференциального уравнения.
Если среди n корней характеристического уравнения есть m корней положительных (действительных или с положительной действительной частью), то вектор Н (?) повернется против часовой стрелки на угол (n — m) ?/2 при изменении ? от 0 до +?. Такой поворот вектора свидетельствует о расходимости переходного процесса и, следовательно, о неустойчивости системы регулирования. Годографы вектора H (?) при расходящихся процессах представлены на рис. 255, б и в.
Таким образом, критерий устойчивости Михайлова сводится к тому, что процессы являются сходящимися, а система устойчивой только при следующих условиях:
годограф вектора Н (?) при изменении ? от 0 до + ? для уравнения n-го порядка проходит последовательно n квадрантов;
вектор Н (?) должен поворачиваться против часовой стрелки.
Для того чтобы воспользоваться этим критерием для оценки устойчивости системы автоматического регулирования, необходимо в характеристическое уравнение системы подставить р = i? и построить годограф (768) при изменении ? от 0 до +?. Вид этого годографа и даст искомый ответ.
На основании критериев устойчивости А. В. Михайлова можно сделать вывод, что при устойчивой системе вектор Н (?), двигаясь против часовой стрелки, должен поочередно пересекать действительную и мнимую оси координатной плоскости (рис. 255, а), причем при совпадении вектора Н (?) с действительной осью
? (?) = 0, (769)
а при совпадении с мнимой осью
u (?) = 0. (770)
Таким образом, значения ? в эти моменты являются корнями уравнений (769) и (770).
Следовательно, при сходящихся процессах исследуемой системы и изменении ? от 0 до +? значения корней уравнений (769) и (770) должны чередоваться одно с другим.
Степень этих уравнений значительно ниже степени характеристического уравнения, поэтому определение их корней не представляет трудности для характеристических уравнений до пятой степени включительно, о чем свидетельствуют следующие данные:
Таким образом, для оценки устойчивости системы автоматического регулирования необходимо найти корни уравнений (769) и (770). Исследуемая система регулирования устойчива, если корни уравнений (769) и (770) чередуются по величине.
Такая оценка устойчивости систем автоматического регулирования иногда называется следствием критерия устойчивости Михайлова.
|