Устойчивость системы автоматического регулирования можно оценить при помощи амплитудно-фазовой частотной характе­ристики разомкнутой системы, включающей те же элементы, в той же последовательности, что и исследуемая замкну­тая система регулирования.

Критерий устойчивости, основанный на анализе характера амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой си­стемы, называют критерием устойчивости Найквиста. Для на­хождения этого критерия необходимо рассмотреть выражение

1 + Y (р),

где Y (р) — передаточная функция разомкнутой системы регули­рования.

Дифференциальное уравнение разомкнутой системы регулиро­вания имеет вид уравнения (670), а передаточная функция в соот­ветствии с выражением (673) определяется отношением

В этом отношении степень полинома R_д (р), как правило, не выше степени полинома R (р).

Прибавим к левой и правой частям отношения по единице; тогда

Числитель полученного выражения представляет собой соб­ственный оператор замкнутой системы автоматического регули­рования

После подстановки р = і? числитель и знаменатель делятся на действительную и мнимую части, а передаточная функции Y (р) разомкнутой системы становится амплитудно-фазовой ча­стотной характеристикой разомкнутой системы Y (і?). Поэтому

При выводе частотного критерия устойчивости удобно вначале рассмотреть лишь те системы автоматического регулирования, которые являются устойчивыми в разомкнутом состоянии. К числу таких систем относится, например, разомкнутая система, струк­турная схема которой показана на рис. 243, б, если k_д > 0 ?_z > 0. При этом условии все корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют отрицательные действительные части.

В соответствии с критерием устойчивости Михайлова вектор

в комплексной плоскости [i?_? (?); u_? (?)] при изменении ? от 0 до + ? поворачивается против часовой стрелки на угол n?/2, где n — порядок дифференциального уравнения.

Если замкнутая система автоматического регулирования устой­чива, то все корни уравнения D (р) = 0 должны иметь также отрицательные действительные части, а вектор

в комплексной плоскости при изменении ? от 0 до + ? должен также поворачиваться против часовой стрелки на угол n?/2, как это показано, например, на рис. 255, а.

Векторы формул (772) и (773) можно представить в виде по­казательных функций

где А (?) и А_? (?) — модули векторов; у (?) и у_? (?) — их аргументы.

Подстановка этих выражений в формулу (771) дает

Как было отмечено, при устойчивых замкнутых и разомкнутых системах векторы формул (772), (773) поворачиваются против часовой стрелки на одинаковые углы n?/2 при изменении ? от 0 до +?, что свидетельствует о равенстве аргументов у (?) = ?_? (?) и нулевом суммарном угле поворота вектора 1 + Y (і?).

Если замкнутая система неустойчива, то у (?) ? n? /2, и тогда ? (?) — ?_? (?) ? 0.

Учитывая сказанное, частотный критерий устойчивости для рассматриваемого случая можно сформулировать следующим образом: система автоматического регулирования устойчива, если при устойчивости соответствующей разомкнутой системы вектор 1 + Y (i?) при изменении ? от 0 до + ? имеет нулевой суммар­ный угол поворота.

На рис. 256, а вектор Y (i?) изображается прямой OD, а так как прямая СО является вектором, равным единице, то методом суммирования векторов СО и ОD можно получить вектор 1 + Y (i?) в виде прямой СD. При изменении ? от 0 до +? конец этого вектора движется по амплитудно-фазовой частотной харак­теристике, а сам он поворачивается около точки С.

Из графика на рис. 256, а видно, что суммарный угол поворота вектора 1 + Y (i?) будет равен нулю только в том случае, если вся амплитудно-фазовая частотная характеристика не охватывает точку C (—1; 0). Если амплитудно-фазовая частотная характе­ристика охватывает точку C (—1; 0), то суммарный угол пово­рота вектора 1 + Y (i?) при изменении ? от 0 до + ? ока­жется не равным нулю, что свидетельствует о неустойчивости рассматриваемой системы автоматического регулирования.

Таким образом, частотный критерий устойчивости при устой­чивой разомкнутой системе можно сформулировать и так: система автоматического регулирования устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы Y (i?) не охватывает точку (—1; 0) на комплексной плоскости (см. рис. 256, а). Если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы на комплексной плоскости охватывает точку (—1; 0), то система автоматического регулирования неустойчива. На рис. 256, б показан граничный случай между устойчивой и неустойчивой системой.

Частотный критерий устойчивости можно использовать также при исследовании устойчивости систем автоматического регули­рования, неустойчивых в разомкнутом состоянии. К числу таких систем может быть отнесена система, показанная па рис. 243, б, если k_д <0.

Если среди п корней разомкнутой системы автоматического регулирования т корней расположены в правой полуплоскости (см. рис. 250), то вектор A_?(?) при изменении ? от 0 до +? повернется против часовой стрелки на угол (п — 2т) ?/2, в то время как поворот вектора A (?) в случае устойчивости системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии составит угол n?/2 против часовой стрелки.

Подстановка углов поворота векторов A (?) и A_д (?) в выра­жение (774) показывает, что при изменении ? от 0 до + ? в рас­сматриваемом случае

Следовательно, частотный критерий устойчивости систем авто­матического регулирования, неустойчивых в разомкнутом состоя­нии, должен быть сформулирован следующим образом: если разомкнутая система автоматического регулирования имеет т корней в правой полуплоскости, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характери­стика разомкнутой системы при изменении ? от 0 до +? охваты­вала точку с координатами (—1; 0) на комплексной плоскости; угол обхвата против часовой стрелки должен составлять тп.

На рис. 256, в приведена амплитудно-фазовая частотная ха­рактеристика разомкнутой системы, имеющей один корень харак­теристического уравнения в правой полуплоскости. Соответству­ющая замкнутая система автоматического регулирования устой­чива, так как угол охвата точки (—1; 0) составляет ? против часовой стрелки при изменении ? от 0 до +?. На рис. 256, г амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой си­стемы протекает так, что при изменении ? от 0 до +? суммарный угол поворота вектора 1 + Y (i?) составляет также m?, но по часовой стрелке. Это свидетельствует о том, что соответствующая замкнутая система автоматического регулирования неустойчива.