Частотные характеристики систем автоматического регулирова­ния позволяют выяснить характер реакции системы регулиро­вания двигателя на то или иное внешнее управляющее или воз­мущающее воздействие.

Для получения амплитудно-фазовых частотных характеристик замкнутых систем автоматического регулирования необходимо совместно рассмотреть уравнения двигателя и регулятора:

Исключив внутреннюю координату ?, можно получить диффе­ренциальное уравнение замкнутой системы прямого регулирова­ния двигателя

На основании этого уравнения можно получить амплитудно-фазовые частотные характеристики замкнутых систем автомати­ческого регулирования по соответствующей входной коорди­нате.

Пусть, например, ?_р = 0 и ?_д ? 0 (рис. 245, а)\ тогда амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы по возмущающему воздействию ?_д после подстановки р = i? будет иметь вид

Если, наоборот, ?_р ? 0, а ?_д =0 (рис. 245, б), то амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы по управ­ляющему воздействию ?_р после подстановки р = i? получит вид

Рассмотрим частотную характеристику по .управляющему воз­действию. После деления числителя и знаменателя правой части полученного выражения на d_д(i?) d_p (i?)

где амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы

Выражение (689) является комплексным числом, поэтому можно найти действительную x_? (?) = f (?) и мнимую у_? (?) = f(?) частотные характеристики разомкнутой системы регулирования:

Таким образом, при заданном значении частоты со возмуща­ющего воздействия могут быть по формулам (691) подсчитаны значения действительной и мнимой частотных характеристик замкнутых систем регулирования двигателя (кривые ii и iii на рис. 246). Если значения х_? (?) и у_? (?) рассматривать в ка­честве координат, то можно построить амплитудно-фазовую ча­стотную характеристику W (i?) замкнутой системы регулирова­ния (кривая I на рис. 246).

Как известно,

где A_? (?) = f (?) — амплитудная частотная характеристика замкнутой системы; ?_? (?) = f (?) — фазовая частотная харак­теристика замкнутой системы.

Значения их при заданном со также можно подсчитать, если известны x (?) и у (?).

Так как

Полученные выражения с учетом формул (691) позволяют по­строить амплитудную и фазовую частотные характеристики замкну­тых систем регулирования (кривые IV и V на рис. 246).

Существует графоаналитический метод построения амплитудно-фазовых частотных характеристик замкнутых систем регулирования. Чтобы воспользоваться им, следует первую формулу (691) представить в виде

Дополняя полученное выражение до полного квадрата, найдем

Это уравнение является уравнением окружности, центр кото­рой лежит на оси абсцисс и сдвинут от начала координат на рас­стояние

При l > 0 центр окружности сдвинут влево, а при l < 0 сдвинут вправо.

В момент, когда эта окружность пересечет действительную ось абсцисс, у (?) = 0, поэтому в соответствии с выражением (695)

Корни уравнения соответствуют на оси абсцисс координатам точек пересечения этой оси с окружностью. Постоянство корня х₂ (?) = —1 показывает, что все окружности при всех значениях ?

один раз пересекают ось абсцисс в одной и той же точке с коорди­натами (—1; 0). Другая точка пересечения с осью абсцисс зависит от радиуса r окружности.

Например, при х_? (?) = 0 оказывается l = r, а это значит, что окружность проходит через начало координат (рис. 247, а) и через точку (—1; 0). При х_? (?) = 1 окружность вырождается в прямую, так как r ? ?. При 0 < х_? (?) < 1 окружности охватывают окружность х_? (?) = 0, а при х_? (?) < 0 оказываются внутри этой окружности. При х_? (?) > 0 окружности распола­гаются слева от вертикали, проходящей через точку (—1; 0).

Таким образом можно построить целый набор окружностей для разных значений х_? (?), т. е. для разных значений ?.

Аналогично могут быть построены окружности для определе­ния мнимой частотной характеристики у_? (?) замкнутых систем регулирования. Второе выражение (691) можно представить в виде

Это также уравнение окружностей, центр которых смещен влево по оси абсцисс на единицу. Радиус окружностей

Если y_? (?) > 0, то окружность располагается выше действи­тельной оси и при y_? (?) <0 — ниже действительной оси. При у (?) = 0 уравнение окружностей дает только одну точку х (?) = —1 (рис. 247, б).

Построенные круговые диаграммы для выбранных значений частот ?_i являются составными частями единой круговой диа­граммы, которая позволяет построить амплитудно-фазовую частотную характеристику замкнутой системы регулирова­ния.

С этой целью на совмещенный график круговых диаграмм (рис. 247, в) наносят амплитудно-фазовую частотную характери­стику разомкнутой системы Y(i?). Каждая точка этой харак­теристики соответствует определенной частоте (например, ?₁ или ?₂). Надо найти окружности, проходящие через эту точку, и тогда значения y_?(?) и x_? (?), при которых построены эти окружности, являются искомыми координатами амплитудно-фазовой частотной характеристики W (i?) замкнутой системы регулирования (рис. 247, г).