Коэффициенты характеристического уравнения можно рассматри­вать в качестве осей координат некоторого пространства. В этом случае коэффициенты, например, уравнения (758) дают обычное трехмерное пространство (рис. 296). В общем случае при рассмо­трении характеристического уравнения n-й степени это может быть и n-мерное пространство. Расположение изображающей точки А в этом пространстве зависит от значения и знака коэффи­циентов характеристического уравнения.

Однако совокупность всех коэф­фициентов характеристического уравнения определяет значение и знаки всех его корней. Поэтому расположение точки А в про­странстве коэффициентов характе­ристического уравнения опреде­ляет значения и знаки его корней p₁, p₂, p₃ и т. д.

Если все корни характеристического уравнения с коэффи­циентами, соответствующими точке А, являются действительными отрицательными или комплексными сопряженными с отрицатель­ной действительной частью, то точка А принадлежит области сходящихся переходных процессов устойчивой системы. В этом случае все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости корней (см. рис. 250).

Перемещение точки А в пространстве связано с изменением коэффициентов характеристического уравнения и, следовательно, с перемещением корней на плоскости корней. Как только в про­цессе движения один из корней характеристического уравнения пересечет мнимую ось (рис. 250) и попадет в правую полуплоскость, точка А из области сходящихся процессов (на рис. 296 эта область заштрихована) перейдет в область расходящихся процессов — в точку А₁ и, следовательно, пересечет некоторую граничную поверхность, разделяющую области сходящихся и расходящихся процессов в рассматриваемом пространстве. Очевидно, точка А будет находиться на границе А_? между указанными областями в момент, когда один или несколько корней характеристического уравнения попадут на мнимую ось. Этот момент соответствует появлению у характеристического уравнения чисто мнимых кор­ней i? и, следовательно, колебательного переходного процесса с постоянной по времени амплитудой. В частном случае этот корень может быть нулевым.

Точка А пересечет границу не только тогда, когда первый корень пересечет мнимую ось, но и тогда, когда в правую полу­плоскость переместится второй корень характеристического урав­нения. Точка А из положения А₁ перейдет в положение А₂. Точка А будет пересекать каждый раз одну из границ, когда умень­шается число корней в левой полуплоскости (см. рис. 250). Следо­вательно, полученные таким образом границы разделяют все пространство на области с определенным числом корней в левой полуплоскости. Если порядок уравнения п, а корней слева от мнимой оси k, то одна из областей может быть обозначена симво­лом D (k; п — k), где k — любое целое число п ? k ? 0. В част­ности, при k — п эта область будет областью сходящихся процес­сов, т. е. областью устойчивой работы системы автоматического регулирования. Выделение в пространстве областей D (k; n — k) и называется D-разбиением.

Единственным признаком нахождения точки А на одной из границ областей является наличие среди корней характеристи­ческого уравнения чисто мнимых корней р = i?. Этим можно воспользоваться для построения искомых границ.

Если координату i? мнимой оси (см. рис. 250) плоскости распо­ложения корней считать переменной величиной, причем ? может изменяться в пределах от —? до +?, то при изменении ? от —? до +? некоторая воображаемая точка будет двигаться по мнимой оси снизу вверх. Аналогично выполняется и D-разбиение.

С этой целью в характеристическое уравнение следует подставить все известные параметры как двигателя, так и регулятора, за исключением неизвестного (исследуемого) параметра, которому ниже в обобщенном виде присваивается символ ?.

После этого уравнение получит вид

Например, если среди коэффициентов характеристического уравнения (758) неизвестным является ?, то ? = ?, и тогда

Далее в характеристическое уравнение подставляют граничное условие наличия корней на мнимой оси (см. рис. 250) в виде р = i? и отыскивают ?:

Полученное число является комплексным, поэтому

где u (?) и ? (?) можно рассматривать в качестве координат точки на плоскости комплексного переменного при заданном зна­чении ?. При изменении ? от —? до +? конец вектора ?, будет описывать годограф, который при некоторых значениях ? должен пересекать действительную ось плоскости. Так как в результате исследования должны быть выяснены возможные изменения действительных значений ?, удовлетворяющих устойчивой работе системы автоматического регулирования, то точки пересечения годографа с действительной осью необходимо строить особенно тщательно.

Следует отметить, что в выражение и (?) параметр ? входит в четной степени, а в выражение ? (?) — в нечетной. Поэтому нет необходимости строить годограф при изменении ? от —? до +?. Достаточно выполнить построение в пределах от 0 до +? и затем дополнить полученную кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. Это зеркальное отображение и будет соответствовать ветви годографа при изменении ? от —? до 0.

После построения границ необходимо выяснить, какая из областей является областью сходящихся процессов. Для этого удобно использовать правило штриховки. При движении снизу вверх от —? до +? вдоль мнимой оси плоскости корней полу­плоскость отрицательных корней всегда остается слева от движущейся точки. Эту левую сторону мнимой оси принято штри­ховать, как показано на рис. 250.

Так как граница между D-областями является по существу отображением мни­мой оси плоскости корней, то правило штриховки сохраняется и здесь. В этом случае необходимо мысленно двигаться от конца годографа, соответствующего ? = —?, к концу с ? = +?, нанося штри­ховку с левой стороны границы по направ­лению движения.

Пересечение границы со стороны, имею­щей штриховку, на сторону без штриховки соответствует переме­щению одного из корней из левой полуплоскости в правую по­луплоскость корней. Такой переход корня слева направо проис­ходит каждый раз при пересечении границы в указанном направ­лении.

Пусть, например, переходные процессы системы автомати­ческого регулирования описываются уравнением (655). Тогда характеристическое уравнение получит вид выражения (758). Можно предположить, что коэффициенты ? и ? известны, а коэф­фициент ? следует подобрать так, чтобы система была устойчивой.

После введения обозначения ? = ? характеристическое урав­нение (758) получит вид уравнения (940), и тогда после подстановки р = i? в соответствии с выражением (941)

Построение D-paзбиeния дает границу, представленную на рис. 297. Обе ветви кривой пересекают действительную ось в точке, которая определяется из условия ? (?) = 0. Следовательно, ? = ???. Подставляя полученное значение в выражение

Так как интерес представляют лишь действительные значения ?, то необходимо рассмотреть значения ? = и (?) в области сходящихся процессов, поэтому

Это уравнение совпадает с уравнением (756), следовательно, оно является уравнением границы между областями сходящихся и расходящихся процессов. Штриховка границы показывает, что область значений ?, обеспечивающих сходимость переходного процесса, располагается справа от точки при ? = ??/?. Значе­ния u (?) в этой области соответствуют условию

что также может быть получено с помощью детерминанта Гурвица.

При помощи D-разбиения можно подобрать значение не только коэффициента характеристического уравнения, но и любого пара­метра системы регулирования.

Пусть, например, переходный процесс системы автоматического регулирования двигателя без наддува описывается дифферен­циальным уравнением (601) с коэффициентами (602).

При разработке автоматического регулятора параметры дви­гателя, для которого создается этот регулятор, должны быть известны, т. е. известны Т_д и k_д Время катаракта Т_к задается на основании экспериментальных данных (по значениям фактора торможения аналогичных по размерности регуляторов и топлив­ных насосов). Время регулятора Т_р можно определить в резуль­тате статического расчета. Остается местная степень неравномер­ности ?_z, характеризующая наклон равновесной кривой регуля­тора в точке рассматриваемого режима работы системы. Необ­ходимо подобрать такую равновесную кривую регулятора, при которой система регулирования при уже заданных значениях остальных параметров оказалась бы устойчивой. Таким образом, ?_z = ?.

Местная степень неравномерности ?_z входит в выражения коэф­фициентов А₁ и A₀, поэтому из характеристического уравнения

Пусть известны значения Т_д = 1 с, k_д= —0,2, Т_р² = 0,0001 с², Т_к = 0,04 с. По формулам (602) подсчитывают А₁ = 0,0001; А₂ = 0,04. Подстановка известных значений коэффи­циентов и параметров в формулы (942) приводит их к виду

Наиболее просто определяются характерные точки границы. Так, например, при ? = 0 и (?) = +5,0 и ? (?) = 0. При 0,998— 0,04?² = 0 (при ? = ±4,98) u (?) = +0,0105; ? (?) = 0. Если ? ? + ?, то u (?) ? +?, а ? (?) ? —?. Если ? ? —?, то и (?) ? +?и ? (?) ? +?.

Кроме таких характерных точек можно получить любые промежуточные, если задавать различные значения ?. Пусть ? = ±0,1. В этом случае u (?) ? +4,0 и ? (?) ? ±1,99. При ? = ±10 u (?) ? +0,012 и ? (?) ? ±0,30.

Все эти данные позволяют построить граничную кривую, пока­занную на рис. 298, а. Путем нанесения штриховки вышеописан­ным способом можно найти, что вся плоскость графика разбивается на три области: область D (3; 0), в которой все три корня находятся в левой полуплоскости, и система регулирования, следовательно, устойчива; D (2; 1) и D (1; 2), в которых один или два корня нахо­дятся в правой полуплоскости, и система регулирования неустой­чива.

При ? (?) = 0, что соответствует действительным числам (ось абсцисс), u (?) = ? = ?_z.

Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о том, что выбранная система автоматического регулирования будет устойчивой, если местную степень неравномерности выбрать в пределах 5,0 > ?_z > 0,0105.

Если коэффициент самовыравнивания двигателя положителен (например, k_д= 0,2), то при прежних значениях остальных параметров (T_д = 1 с; Т_к = 0,04 с; T_p² = 0,0001 с²) D-разбиение получает вид, показанный на рис. 298, б. Штриховка годографа показывает, что система автоматического регулирования будет устойчивой, если ?₂ > —0,0056.

Изложенную методику можно использовать для определения значений любого параметра регулятора, обеспечивающего устой­чивость системы регулирования при известных значениях других параметров. Так, при D-разбиении по Т_к в характеристическое уравнение системы регулирования

Подстановка числовых значений коэффициентов Т_д = 1 с, k_д = 0,1, Т_р² = 10^-3 с² и ?_z = 0,6 приводит полученные выраже­ния к виду

Построение годографа целесообразно начинать с определения характерных точек. Так, при приближении ? к нулю со стороны положительных значений u (?) ? +100 В, а ? (?) ? +?. При приближении ? к нулю со стороны отрицательных значений u (?) ? +100 В, как и в предыдущем случае, а ? (?) ?—?. При ?? ±? и (?) ? 0, а ? (?) ? ±?

Из условия ? (?) = 0 при —10 ^-4?⁴ + 0,6?² + 0,106 = 0 опре­деляют ? = ±77,5 с^-1; при этом значении u (?) = 1,67·10^-4. Построенный таким образом годограф на рис. 299, а показывает, что система автоматического регулирования будет устойчива при Т_к > 1,67·10^-4 с. Если при прочих равных условиях k_д = —0,1, то годограф получит вид, показанный на рис. 299, б. Система автоматического регулирования будет работать устойчиво только при 0,1 > Т_к > 1,67·10 ^-4 с.

Таким образом, методом D-разбиеиия всегда можно так по­добрать значение недостающего параметра, чтобы устойчивость системы автоматического регулирования была обеспечена.