Общность дифференциальных уравнений, описывающих переход­ные процессы, происходящие в различных по физической природе элементах и системах, создает возможность исследования дина­мических свойств изучаемых элементов и систем с помощью спе­циальных моделирующих машин непрерывного действия, которые получили название аналоговых.

Например, динамические свойства гидравлического серво­двигателя с жесткой кинематической обратной связью описы­ваются дифференциальным уравнением (391). Динамические свой­ства двигателя без наддува и без учета динамических свойств топливоподающей аппаратуры характеризуются аналогичным уравнением (130), турбокомпрессора — (63), воздушного реси­вера — (80) и т. д. Переходные процессы, описываемые этими диф­ференциальными уравнениями, могут быть воспроизведены с по­мощью электрической цепи, находящейся под действием внешней ЭДС Е (t). Дифференциальное уравнение, характеризующее ди­намические свойства такой цепи, имеет вид

где q — электрический заряд.

Сопоставление этого уравнения с уравнением (391) показы­вает их идентичность и свидетельствует о том, что путем подбора значений соответствующих параметров электрической цепи можно получить представление о динамических свойствах серводвига­теля по процессам, происходящим в электрической цепи.

На этой математической идентичности (аналогии) процессов, происходящих в физически различных системах, основан прин­цип действия аналоговой вычислительной машины (АВМ).

АВМ представляет собой набор электронных блоков — усили­телей, предназначенных для выполнения определенных математи­ческих операций с целью преобразования входных напряже­ний и_вх в выходные напряжения и_вых усилителя или блока уси­лителей.

Наиболее распространенной операцией преобразования на­пряжений является умножение входной координаты на постоян­ный коэффициент:

Задачу эту можно решить с помощью усилителя, блок-схема ко­торого показана на рис. 284. Блок-схеме этого усилителя соответ­ствует структурная схема связи трех элементов, показанная на рис. 285.

Передаточные функции каждого из элементов представляют собой отношение выходной координаты к входной, поэтому

откуда

Если передаточные функции элементов подобрать так, чтобы Y₃ (р) Y₂ (р) >> 1, то с достаточной степенью точности можно принять

В блок-схеме на рис. 284 роль передаточной функции каждого элемента выполняет сопротивление, поэтому

Сопоставление полученного выражения с формулой (903) по­казывает, что в рассматриваемом случае k = - R₂/R₁. Если со­противления R₁ и R₂ подобрать так, чтобы R₁ = R₂ то k = — 1. В этом случае усилитель на рис. 284 выполняет функцию инвер­тора, предназначенного для изменения алгебраического знака входной координаты без изменения ее абсолютного значения.

Во многих случаях при моделировании переходных процессов используют операции суммирования. Это оказывается необходи­мым, когда на вход элемента подается не один сигнал, как это предусмотрено в схеме на рис. 284, а несколько сигналов или, на­пример, два сигнала, как следует из уравнения (130). Для моде­лирования динамических свойств такого элемента можно исполь­зовать схему, показанную на рис. 286, а. Этот усилитель одновре­менно выполняет две операции: умножения и суммирования в соответствии с выраже­нием

Коэффициенты передачи здесь опреде­ляются отношениями

Таким образом, усилители, показанные на рис. 286, а и 284, выполняют операцию умножения с переменой алгебраического знака входной координаты.

При моделировании переходных процессов, описываемых ли­нейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэф­фициентами, кроме математических операций умножения и сум­мирования (907) часто используют операцию интегрирования. Для реализации этой операции применяют конденсатор, так как разность потенциалов и на его пластинах связана с емкостью С и силой тока i соотношением

Если на вход усилителя, схема которого показана на рис. 286, б, включить резистор сопротивлением R, а в обратную связь — конденсатор емкостью С, то такой усилитель выполнит операцию интегрирования входной координаты. Действительно, после умно­жения и деления правой части выражения (908) на R она получит вид

Таким образом, операционный усилитель, собранный по схеме, из­ображенной на рис. 286, б, является интегратором и используется в тех случаях, когда необходимо понизить порядок производной.

В некоторых случаях при моделировании переходных процес­сов необходимо, наоборот, повысить порядок производной, т. е. выполнить операцию дифференцирования. Для ее реализации в блок-схеме (рис. 286, б) необходимо поменять местами резистор и конденсатор (рис. 286, в). В этом случае

Вместе с тем следует отметить, что применять дифференциатор (рис. 286, в) при решении задачи на АВМ следует только в крайнем случае, так как точность воспроизведения задаваемых процессов таким усилителем значительно ниже точности воспроизведения усилителями других типов.

При помощи блоков, показанных на рис. 284 и 286, можно составить блок-схему для моделирования переходного процесса в элементе системы регулирования любой сложности.

Пусть, например, переходный процесс двигателя описывается дифференциальным уравнением (130). Этому уравнению, записан­ному в операторной форме, можно придать вид

Это выражение показывает, что для получения переходного про­цесса двигателя ? = f (t) необходимо проинтегрировать алгебраи­ческую сумму, стоящую в правой части уравнения.

Если настройка потребителя оказывается переменной (?_д ? 0), то переходные процессы двигателя, описываемые уравнением (911), можно получить на модели, блок-схема которой показана на рис. 287. Усилитель 1 с резисторами R1 и R2 и усилитель 3 с резисторами R6 и R7 являются лишь инверторами, изменяющими алгебраический знак входных координат на обратный. Суммиро­вание и интегрирование выполняются усилителем 2 блок-схемы. Напряжение u_вх1 моделирует изменение настройки потребителя ?_д. Так как R₂ = R₁ то на выходе инвертора вырабатывается значение —?_д. Сопротивления R₃, R₄ и R₅ должны быть подобраны таким образом, чтобы обеспечивалось моделирование коэффициентов соответственно ?_д / T_д, 1/ T_д и k_д / T_д.

Изложенную методику можно использовать для составления блок-схемы двигателя с наддувом. Пусть наддув осуществляется нерегулируемым турбокомпрессором; тогда система уравнений получит вид

Первым в этой системе является дифференциальное уравнение собственно двигателя. Для составления блок-схемы уравнение представляют в форме

Для определения значений ? необходимо вычислить правую часть уравнения, а затем проинтегрировать. Задача эта выполня­ется операционным усилителем, работающим в режиме интегра­тора-сумматора (рис. 288, а). Резистор R4, включенный в обратную связь, обеспечивает подачу на вход сигнала, пропорционального отношению k/Т. Выходное напряжение u_вых моделирует значе­ние —?.

На рис. 288, б показана блок-схема турбокомпрессора, вход­ными координатами которого являются давление ? выпускных газов, цикловая подача q топлива и давление ? наддува двигателя. Резистор R4, включенный в обратную связь, моделирует отноше­ние k_к/Т_к. Так как все эти координаты имеют знак, совпадающий с их знаком членов правой части уравнения, выходная координата ?_к (изменение угловой скорости ротора турбокомпрессора) имеет обратный знак по сравнению с действительным.

Часто инерционностью впускного (и выпускного) коллектора можно пренебрегать. В этом случае Т_в = 0, и тогда уравнение впускного коллектора приводится к виду

Моделирование динамических свойств такого элемента выпол­няется усилителем, работающим в режиме сумматора (рис. 286, а), причем отношение R₁/R₂ моделирует 1 /k_в, а R₁/R₃ соответственно – ?_в / k_в.

Динамические свойства топливоподающей аппаратуры харак­теризуются дифференциальным уравнением второго порядка с двумя входными координатами. Для составления блок-схемы уравнение топливоподающей аппаратуры целесообразно пред­ставить в виде

Следовательно, выходную координату можно получить путем суммирования членов правой части уравнения с координатами к и ср. Результат суммирования этих членов следует подать на вход. Одновременно необходимо предусмотреть две обратные связи, одна из которых должна быть включена после первого интегриро­вания другая — после повторного

Блок-схема, характеризующая динамические свойства топливоподающей аппаратуры, показана на рис. 288, г. Так как после интегратора q > 0, в блок-схеме должно быть предусмотрено последовательное включение инвертора для изменения знака выходной координаты

и обеспечения возможности подачи ее в обратную связь с помощью инвертора 3.

Определив блок-схемы элементов, можно собрать блок-схему двигателя с автономным газотурбинным наддувом в целом (рис. 289).

Аналогично составляют блок-схему автоматических регулято­ров. Например, для составления блок-схемы автоматического регулятора прямого действия (рис. 290, а) его дифференциальное уравнение необходимо представить в виде

В схему включены два инвертора 1 и 4 и два усилителя 2 и 3. Для построения блок-схемы серводвигателя с комбинирован­ной кинематической обратной связью (рис. 290, б) его дифферен­циальное уравнение записывают в виде

В правой части этого уравнения есть производные не только исследуемой координаты ?, но и входной координаты ?. Чтобы избежать необходимости применения дифференциатора (см. рис. 286, в), дающего меньшую точность моделирования, уравне­нию серводвигателя целесообразно придать вид

В соответствии с порядком дифференциального уравнения в блок-схему должны войти два последовательно включенных интегратора (см. рис. 290, б). Сумматор-интегратор 3 имеет в каче­стве выходной координаты ?. Для образования второго слагаемого выражения (912) на вход сумматора-интегратора 3 через резистор R7 имитирующий коэффициент T_c +T_из?_из / T_cT_из, подается координата ?. Резистор R5, имитирующий коэффициент 1 /Т_с, воспри­нимает на входе координату —? и таким образом совместно с рези­стором R7 составляет основу для получения второго слагаемого выражения (912) с обратным алгебраическим знаком. Суммирова­ние входных координат и интегрирование в сумматоре-интеграторе 3 дает второе слагаемое выражения (912). Для получения первого слагаемого выходная координата ? через инвертор 4 и резистор R4, имитирующий коэффициент k_c / T_cT_из, подается на вход сумматора-интегратора 2. Через резистор R3 формируется сигнал 1 / T_cT_из ? ?. После двойного интегрирования в сумматорах-интеграторах 2 и 3 получим первое слагаемое выражения (912) и, следовательно, выходную координату ?.

Блок-схемы, показанные на рис. 289 и 290, в совокупности могут дать блок-схему системы прямого или непрямого регулиро­вания. Для составления замкнутой цепи системы регулирования в соответствии с требованием главной отрицательной обратной связи выходную координату блок-схемы при прямом регу­лировании (рис. 290, а) или непрямом регулировании (рис. 290, б) необходимо связать с входной координатой блок- схемы на рис. 289 через инвертор (для изменения алгебраического знака).

Аналоговую вычислительную машину можно использовать и в тех случаях, когда дифференциальное уравнение системы авто­матического регулирования уже получено:

Для составления блок-схемы это уравнение следует разрешить относительно старшей производной:

Так как в правой части этого уравнения есть производные не только исследуемой координаты ?, но и входной координаты ?_д, то уравнение системы необходимо записать в виде

Это выражение показывает, что блок-схема должна иметь четыре сумматора-интегратора, причем сумма первого слагаемого пода­ется на вход четвертого сумматора-интегратора, сумма второго слагаемого — на вход третьего сумматора-интегратора и т. д.

Координаты, входящие в дифференциальное уравнение эле­мента или системы автоматического регулирования, в аналоговых вычислительных машинах воспроизводятся напряжениями. Пре­делы изменения напряжений в каждой АВМ ограничены, поэтому при подборе коэффициентов дифференциальных уравнений необ­ходимо учитывать масштабы изображения каждой моделируемой величины путем введения масштабных коэффициентов.

Например, при моделировании переходных процессов, описы­ваемых дифференциальным уравнением (912), каждая из коорди­нат ? и ? должна быть введена в моделирующую машину со своим масштабным коэффициентом т_? и m_?:

При моделировании переходных процессов можно изменить и масштаб времени:

где t_м— машинное время; т_t — масштаб времени: для получения ускоренного протекания переходного процесса m_t > 1, для за­медленного m_t < 1. Подставляя выражения (914) и (915) в исход­ное уравнение, последнее приводим к виду

С помощью полученных формул можно определить числовые значения коэффициентов передачи, если предварительно выбраны масштабы переменных. Точность работы моделирующей машины повышается, если этот процесс воспроизводится в максимально допустимом диапазоне изменения напряжения в операционных усилителях. Так как в большинстве моделирующих машин это напряжение не должно превышать ±100 В, то масштабы координат следует выбрать из соотношений

Максимально допустимые (максимально возможные) отклонения переменных ?_max, ?_max определяют из конкретных условий пере­ходного процесса. По числовым значениям коэффициентов пере­дачи k_?1, k_?2, k_?1 и k_?2 можно настроить АВМ на решение поставлен­ной задачи.

При моделировании переходных процессов систем автоматиче­ского регулирования двигателя по дифференциальным уравнениям ее элементов необходимо предварительно составить блок-схемы каждого из элементов (см. рис. 287, 288, 289, 290) и затем на их основе блок-схему системы автоматического регулирования в це­лом (рис. 291) с главной отрицательной связью, обеспечиваемой инвертором 4. Для настройки системы следует вычислить коэффи­циенты передачи каждой из координат элементов.

При моделировании переходных процессов, описываемых диф­ференциальным уравнением (913), необходимо выбрать масштабы координат

так, чтобы m_? = ?_шах/100 и m_? = ?_{д шах}/100. Подставляя эти соотношения в дифференциальное уравнение (913), получим

Для составления блок-схемы (рис. 292) уравнению системы регулирования следует придать вид

Зная числовые значения коэффициентов передачи, в соответствии с блок-схемой, приведенной на рис. 292, можно получить переход­ные процессы ? = f (t) системы автоматического регулирования четвертого порядка.

Возможность быстрой перенастройки системы на новые значе­ния параметров и немедленного получения результата создают большие удобства их применения при изучении динамических свойств систем автоматического регулирования двигателей и их элементов.