В теории автоматического регулирования широко используют преобразование Лапласа, так как оно дает возможность упростить получение ряда результатов, важных для анализа и синтеза систем автоматического регулирования.

Преобразование Лапласа можно применить к функциям ? (t), имеющим конечное число разрывов, равным нулю при t < 0 и ограниченным по модулю при t > 0 так, что

где А и k — постоянные величины, независимые от t. Для таких функций можно найти изображение по формуле

Общие интегралы дифференциальных уравнений систем автомати­ческого регулирования, описывающие переходные процессы в этих системах, полностью удовлетворяют приведенным выше ограничениям, поэтому к ним может быть применено преобразование Лап­ласа.

Формула (813) показывает, что в тех случаях, когда функция ? (t) имеет постоянный коэффициент А, последний может быть вынесен за знак интеграла:

Преобразование Лапласа позволяет получить изображения выражений, наиболее часто встречающихся в теории автомати­ческого регулирования при построении и анализе переходных процессов.

Пусть, например, ? (t) = е^z1t этом случае в соответствии с формулой (813)

Умножив и разделив полученное отношение на z — i?, можно показать, что

то после умножения и деления на ? + z + i? и в соответствии с формулой (814)

В качестве возмущающего воздействия на систему автоматиче­ского регулирования часто используют единичное ступенчатое изменение входной координаты.

Таким возмущением может быть мгновенное перемещение ?? при t = 0 рычага управления регулятором из положения ? = 0 в положение ?= ?₀ или мгновенное изменение нагрузки N на двигатель от 0 до N₀. В этих случаях ?? = ?₀ и ?N =N₀, следовательно,

Такое возмущающее воздействие часто называется единичным. Ступенчатая функция при t = 0 имеет один разрыв, поэтому к ней может быть применено преобразование Лапласа. В этом случае

При помощи преобразования Лапласа могут быть получены изображения исследуемой функции ? (t) и ее производных. Для этого следует воспользоваться формулой (813), интегрируя ее по частям так, что

Для получения изображения второй производной функции ? (t) формулу (817) следует проинтегрировать по частям. Пусть

Начальное отклонение ? (0) исследуемой функции и ее произ­водные, входящие в правую часть выражений (817)—(821), соот­ветствуют моменту t = —0 до появления возмущающего воздей­ствия на систему автоматического регулирования.

Изображения производных (817)—(821) удобно использовать для определения начальных (при t = +0) и конечных (при t = +?) значений функции ? (t) в переходном процессе. Действи­тельно, в соответствии с выражением (817)

Таким образом, можно определить значения функции и всех ее производных при t = +0, т. е. найти начальные условия переход­ного процесса, появляющегося вследствие единичного ступенча­того возмущения.

Для того чтобы найти конечное значение функции (при t = ?), необходимо к формуле (817) применить условие z ? 0. В этом случае

то сопоставление полученных выражений свидетельствует о том, что

Формула (826) дает возможность определять значение функции ? (t) после завершения переходного процесса и тем самым находить статическую ошибку (неравномерность) работы системы автомати­ческого регулирования.

С помощью преобразования Лапласа также можно находить саму функцию ? (t), если известно ее изображение (обратное преобразование Лапласа). Для выполнения этой задачи необхо­димо подсчитать интеграл