Исследование динамических свойств двигателей путем решения дифференциального уравнения существенно усложняется необхо­димостью расчета начальных условий и констант интегрирования. Определение общего интеграла дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа свободно от этого недостатка.

Преобразование Лапласа позволяет заменить в дифферен­циальном уравнении функцию вещественного переменного, кото­рым является время t, функцией комплексного переменного р = ? + i?. Эта замена при t ? 0 определяется соотношением (813). Соотношения (813), (817)—(821) между изображениями и оригиналами исследуемой функции и ее производных дают возмож­ность записать в изображениях дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования и привести его к виду (828). Это уравнение является алгебраическим в отличие от уравне­ния (592), которое, будучи записанным в операторной форме, по существу остается дифференциальным.

Из уравнения (828) может быть определено изображение исследуемой функции

Полученное выражение для определения изображения искомой функции является наиболее общим и характеризует как вынуж­денный, так и свободный переходные процессы.

Первое слагаемое правой части уравнения (835) зависит от изображения L [?_д (t) ] возмущающего воздействия и поэтому характеризует вынужденную составляющую переходного про­цесса, появляющуюся под влиянием внешнего возмущения.

Второе слагаемое зависит только от начальных условий, определяющих состояние системы автоматического регулирования в момент возмущения. Поэтому этот член уравнения (835) харак­теризует свободную составляющую переходного процесса, учиты­вающую собственные свойства двигателя и регулятора, а также начальные условия движения.

Для отыскания общего интеграла дифференциального уравне­ния, т. е. для определения функциональной зависимости ? = f (t) (переходного процесса), необходимо применительно к урав­нению (835) выполнить обратное преобразование Лапласа (827), сводящееся к нахождению оригинала по его изображению. Если при t ? —0 система автоматического регулирования работала в условиях установившегося режима, то ? (0) = 0; ?' (0) = 0; ?" (0) =0 и, следовательно, М (z) = 0. В этом случае

При единичном ступенчатом возмущении в соответствии с фор­мулой (816)

поэтому выражение (836) приводится к виду

Для облегчения обратного преобразования Лапласа выражение (838) целесообразно разбить на такие составляющие, для которых выражения оригинала уже известны.

Одним из методов такого разбиения является представление изображения (836) или (838) в виде суммы отношений

Для определения числовых значений коэффициентов С₀, С₁, С₂ и С₃ можно воспользоваться следующим простым приемом.

Для определения значения С₀ все члены уравнения (839) следует умножить на z; тогда

Умножая затем все члены уравнения (839) последовательно на z — z₂ и z — z₃ и принимая также последовательно z — z₂ и z = z₃, можно найти

Следовательно, при известных корнях характеристического уравнения становятся известными значения всех коэффициентов изображения (839).

Представленное таким образом изображение можно при оты­скании оригинала не подставлять в интеграл (827), так как связь изображения, записанного в форме (839), с оригиналом определяется формулой (815) и имеет вид

и т.д.

С учетом этих связей по изображению нетрудно найти ориги­нал искомой функции

что является общим интегралом решаемого дифференциального уравнения системы автоматического регулирования.

Можно отметить, что формулы (841)—(843) идентичны фор­мулам (810) ранее полученных констант интегрирования.