Совмещение характеристик параметров составляющих переход­ного процесса в системах автоматического регулирования треть­его порядка (см. рис. 263—265) на поле диаграммы И. А. Вышнеградского (см. рис. 251) дает результирующую диаграмму пара­метров составляющих в системах третьего порядка, представлен­ную на рис. 270) (см. вкладку). Эта диаграмма в совокупности с рис. 266, 268 и 269 по известным числовым значениям критериев подобия ? и ? Д^ает качественную и количественную характери­стику каждой составляющей исследуемого процесса в отдельности. По ней можно также определить характер процесса: сходящийся или расходящийся, колебательный или апериодический.

Однако для построения результирующего переходного про­цесса, который является суммой составляющих, необходимо знать константы интегрирования С₁ С₂ и С₃, для определения которых следует задать начальные условия.

Так как в общем случае переходные процессы системы автома­тического регулирования описываются дифференциальным урав­нением (646), то в соответствии с формулами (809)

Константы интегрирования для системы третьего порядка определяются формулами (810). Так как коэффициенты уравне­ния (742) связаны с его корнями соотношениями

то формулам (810) можно придать вид

где j = 1, 2 и 3.

Из трех корней характеристического уравнения два могут быть комплексными сопряженными:

Если воспользоваться формулами Эйлера, то общему инте­гралу можно придать тригонометрическую форму

где

Скорость ?₀ и ускорение w₀ изменения регулируемого пара­метра определяются дифференцированием выражения (865).

При колебательном переходном процессе условие ? = 0 при­водит выражение (865), а также его первую и вторую производ­ные к виду

Для определения констант интегрирования в области II из первого соотношения (866) находим

затем С₂ можно исключить из последних двух выражений, ко­торые после этого примут вид

Решая полученные уравнения, определим

Подстановка соотношений (870) и (871) в формулу (868) при­водит последнюю к виду выражения (864) при j = 1. Это свиде­тельствует о том, что константа С₁ в областях I и II диаграммы определяется одними и теми же характеристиками.

При совместном решении уравнений (870) и (871)

Подставляя эти соотношения в выражение (869), получим

Так как p_j = —0,693/?_sj, то с помощью диаграммы (рис. 270) при известных коэффициентах характеристического уравне­ния (742) и начальных условиях (862) могут быть найдены кон­станты интегрирования.

Каждую из полученных формул (864) или (872) можно пред­ставить в виде суммы трех слагаемых:

тогда коэффициенты ?_j^?, ?_j^?, ?_j^w и этого выражения, именуемые от­носительными константами интегрирования, оказываются за­висимыми только от величин, имеющихся на диаграмме (рис. 270).

Следовательно, на поле диаграммы можно заранее нанести сетки кривых во всех ее областях.

Такое построение диаграммы дает возможность по расположе­нию изображающей точки на диаграмме И. А. Вышнеградского (с координатами ? и ?) без дополнительных расчетов найти искомые величины ?_j^?, ?_j^? и ?_j^w, затем при известных начальных усло­виях (862) по формуле (873) определить константы интегрирова­ния.

Совокупность всех построенных таким образом характери­стик (874), нанесенных на поле диаграммы И. А. Вышнеградского, называют диаграммой относительных констант по отклонению (рис. 271, см. вкладку). Совокупность характеристик (875) в тех же координатах дает диаграмму относительных констант по скорости (рис. 272, см. вкладку), совокупность характеристик (876) — диа­грамму относительных констант по ускорению (рис. 273, см. вкладку).

Подстановка формулы (873) в общий интеграл

при ? = 0 показывает, что для областей I и IV апериодических переходных процессов выполняются условия

Аналогичная подстановка выражения (873) в первое выраже­ние (866) показывает, что в областях II и III колебательных пере­ходных процессов между относительными константами выдержи­ваются соотношения

В соответствии с выражениями (877) в областях I и IV аперио­дических переходных процессов на диаграммах (см. рис. 271— 273) нанесены характеристики первой и второй относительных констант, так как третью относительную константу всегда можно определить из условия

В областях II и III колебательных переходных процессов ха­рактеристики первой и второй относительных констант совпа­дают. В соответствии с условиями (878) на эти характеристики на­несены два числовых значения.

На границах апериодических и колебательных процессов ВАС (см. рис. 251) имеет место кратность корней характеристического уравнения (742), причем на границе АВ р₂ = р₃, на границе АС р₁ = р₃, а в точке А с координатами (3; 3) р₁ = р₂ — р₃.

В соответствии с этим общий интеграл, описывающий пере­ходные процессы системы регулирования на границе АВ между колебательными и апериодическими сходящимися процессами, должен быть записан в виде

Для границы АВ константы интегрирования определяются с помощью трех начальных условий:

Совместно решая эти уравнения, получим

Сопоставление формулы (882) и первой формулы (810) показы­вает их совпадение при граничном условии р₂ = р₂, поэтому от­носительные константы интегрирования ?₁^?, ?₁^? и ?₁^w можно опре­делить непосредственно по диаграммам (см. рис. 271—273, на вкладе). Относительную константу ?₂^? находят из условия  ?₂^? = 1 — ?₁^? вытекающего из уравнения начальных условий, а от­носительные константы ?₂^? = — ?₁^? и = ?₂^w — ?₁^w.

Относительные константы ?₃^?, ?₃^? и ?₃^w и находят по формуле (883) после сравнения ее с третьей формулой (810).

Таким образом, третью константу на границе АВ всегда можно определить, если при подсчете использовать диаграмму, представ­ленную на рис. 270 (см. вкладку).

Зависимости ?₃^? = f (?), ?₃^? = f (?) и ?₃^w = f (?), представлен­ные соответственно кривыми 1—3 на рис. 274, а, позволяют гра­фически находить их значения для границы АВ (см. рис. 251) по значению ?.

— Аналогично определяют константы интегрирования на гра­нице АС, если для составления исходных уравнений восполь­зоваться выражением (880). Зависимости ?₃^? = f (?), ?₃^? = f (?) и ?₃^w = f (?) границы АС (см. рис. 251) представлены на рис. 274, б.

Относительные константы ?₂^?, ?₂^? и ?₂^w находят непосредственно по диаграммам относительных констант, а константы ?₁^?, ?₁^? и ?₁^w- из условий

Систему уравнений для условий точки А (см. рис. 251) необ­ходимо составлять на основании выражения (881). В этом случае

Полученное выражение общего интеграла показывает, что в точке А константы интегрирования определять не требуется.

Таким образом, диаграммы (см. рис. 271—273) совместно с графиком на рис. 274 позволяют определить по коэффициентам нормированного дифференциального уравнения системы регули­рования без дополнительных расчетов значения и знаки относи­тельных констант интегрирования, а по формуле (873) — и кон­станты интегрирования С₁, С₂ и С₃.

При исследовании систем автоматического регулирования дви­гателей во многих случаях появляется необходимость одновре­менно с переходным процессом ? = f (?) строить переходные процессы ? = f (?), ? = f (?) или др. Здесь ? —безразмерное пере­мещение муфты регулятора прямого действия или муфты чувстви­тельного элемента в регуляторах непрямого действия, а ?, — без­размерное перемещение поршня серводвигателя.

В регуляторах прямого действия координата ? и в регулято­рах непрямого действия координата ?, пропорциональны пере­мещениям реек топливных насосов и поэтому характеризуют изменения во времени цикловой подачи топлива и крутящего мо­мента. Переходные процессы ? = f (?) и ? = f (?), так же как и ? = f (?), строят на основании решения уравнения (654) при одних и тех же коэффициентах ? и ?. Следовательно, параметры составляющих переходных процессов и относительные константы интегрирования для всех трех переходных процессов одинаковы; отличаются лишь начальные условия, и следовательно, константы интегрирования, которые для переходного процесса ? = f (?) определяются по формуле (873), а для переходных процессов ? = f (?) и ? = f (?) — соответственно по формулам