Распределение нагрузки между двигателями называется опти­мальным, если КПД установки получает максимальное значе­ние. При заданном значении ?_пер это может быть выполнено только при условии, когда g_e? получает минимальное значение.

При параллельной работе s_д двигателей на суммарный удель­ный расход топлива g_e? влияет мощность, развиваемая каждым двигателем установки. Следовательно,

Известно, что экстремум функции нескольких переменных имеет место при условии равенства нулю полного дифференциала этой функции:

Приращения мощностей отдельных двигателей установки яв­ляются произвольными, не равными нулю, поэтому условие (143) может быть выполнено только при равенстве нулю всех частных производных рассматриваемой функции. Таким образом, выпол­нение условия (143) сводится к необходимости выполнения s_д условий:

Дифференцирование соотношения (141) по мощности первого двигателя N_е1 дает

Так как суммарная мощность установки N_e? определяется мощностью потребителя и, следовательно, является заданной, изменение мощности первого двигателя вызовет изменение мощ­ности по крайней мере еще одного, например последнего s_д, двигателя. Если при этом допустить, что при изменении N_e1 мощность остальных двигателей (кроме двигателя № s_д) не из­менится, то раскрытие суммы в выражении (145) приведет послед­нее к виду

Рассуждения, приведенные для первого двигателя, анало­гичны для каждого из последующих; следовательно,

Полученные выражения удовлетворяют условиям (144) только в том случае, когда

Таким образом, для получения экстремума выражения (141) необходимо так распределить нагрузки между двигателями уста­новки, чтобы величины ?_i этих двигателей в точках режима имели одно и то же значение. В связи с этим условие (150) можно наз­вать условием экстремального распределения нагрузки.

Параметр ?_i в любой из точек нагрузочной характерис­тики g_ei = f (N_ei) (рис. 53) легко определить. Действительно, каждое из выражений (148) можно представить в виде

На рис. 53 показаны по­строения, необходимые для определения величины ?_i по

приведенной выше формуле. Ордината выбранной для построе­ния точки А дает g_ei — удельный эффективный расход топлива в точке режима. К точке А проводят касательную АС; тогда отре­зок ВС на оси ординат является отрезком N_{ei *} дg_ei /дN_ei . В том слу­чае, если ВС откладывают вверх от точки В,

При построении масштаб оси ординат целесообразно выбрать так, чтобы 1 мм соответствовал 1 г/(кВт-ч); тогда при любом масштабе оси абсцисс отрезок ВС, измеренный в миллиметрах, сразу даст числовое значение

Найденные таким образом значения ?_i могут быть представлены в виде кривых ?_i = f (N_ei). На рис. 54 изображены такие кривые для четырех одинаковых двигателей.

Однако получение экстремума выражения (141) является только необходимым условием оптимального распределения нагрузки. Достаточным условием является требование минимума выраже­ния (141). Это достаточное условие выполняется, если дифферен­циал второго порядка функции (141) является положительным:

Следовательно, для определения необходимых и достаточных условий оптимального распределения нагрузки должны быть найдены величины соответствующих вторых частных произ­водных.

Второй полный дифференциал функции (141) имеет вид

Вторые производные по одноименному аргументу N_еi в соот­ветствии с выражениями (146) и (147) можно представить в виде

Вторые производные по разноименным аргументам, например N_ei и N_{е (i+1)}, получат вид

Изменения мощности и удельного расхода i-го двигателя повлекут за собой, как было обусловлено, изменения мощности и удельного расхода двигателя № s_д, а на мощность и удельный расход топлива (i + 1)-го двигателя или любого другого при этом не влияют. Поэтому дифференцирование дает

С учетом обозначений (148) полученному выражению второй производной можно придать вид

Если при выводе выражения (155) вместо аргумента N_e(i+1) использовать аргумент N_e(i+2) или любой другой, отличный от N_e(i+1), то результат (155) не изменится.

Таким образом, все вторые производные по разноименным ар­гументам имеют одно и то же значение:

Выражение (152) полного дифференциала второго порядка за­писано в квадратичной форме. Как известно, необходимым и до­статочным условием выполнения неравенства (151), т. е. чтобы квадратичная форма была определенной и положительной, яв­ляется неравенство Сильвестра.

Написанное в детерминантной форме это неравенство имеет вид

Написанные неравенства показывают, что условия Сильвестра сводятся к положительности детерминанта (160) и всех его диа­гональных миноров (157)—(159) и др., как это показано штрих- пунктирными линиями на детерминанте (160).

Таким образом, для нахождения необходимых и достаточных условий выполнения неравенства (151) в детерминанты (157)— (160) следует подставить ранее полученные выражения (154) и (155), после чего указанные детерминанты развернуть.

Условие (157) получит вид

Так как суммарная мощность установки N_e? — положитель­ная величина, то для выполнения условия (157) необходимо иметь

Полученное неравенство выполняется либо при положитель­ном значении обеих входящих в него производных, либо при по­ложительном значении большей из них, т. е. если имеется не более чем одна отрицательная производная.

Условие (158) после подстановок выражения (154) и (155) примет вид

В неравенстве (162) выражение в скобках после выполнения условия (161) является положительным.

Второе слагаемое может оказаться положительным в том слу­чае, если обе входящие в произведение производные имеют поло­жительные значения. При этом неравенство (162) выполняется даже при д?₂ / дN_e2 < 0,

Если во втором слагаемом левой части неравенства (162) одна из производных имеет отрицательное значение, то для выполнения неравенства (162) необходимо иметь д?₂ / дN_e2 > 0.

Таким образом, условие (162) может быть выполнено, если имеется не более чем одна отрицательная производная.

После подстановки выражений (154) и (155) в неравенство (159) последнее будет иметь вид

Раскрытие детерминанта после некоторых преобразований даст

В квадратных скобках неравенства (163) заключена положительная величина, если условие (162) выполняется. Во втором слагаемом неравенства(163)производные

не могут быть отрицательными одновременно, так как в этом случае не выполняется неравенство (161). Производные

или

Также не могут быть отрицательными одновременно, так как в этом случае окажется невыполнимым неравен­ство (162). Если же из трех производных, входящих во второе слагаемое неравенства (163), отрицательной является только одна (любая), то для выполнения неравенства (163) необходимо иметь, чтобы

то все три указанные производные должны быть положительными. Следовательно, ус­ловие может быть выполнено только в том случае, если среди всех производных, входящих в неравенство, отрицательной яв­ляется только одна.

Необходимо отметить, что производные д?₂₌ / дN_e2 в неравен­стве (162), д?₃₌ / дN_e3 в неравенстве (163), д?₄₌ / дN_e4, д?₅₌ / дN_e5, … в последующих неравенствах и д?_sд-1 /дN_esд-1, в неравенстве, получающемся при раскрытии детерминанта (160) после подстановки в него выражения (154) и (155), не могут быть отрицательными одновременно с производными, входящими в пре­дыдущие неравенства, например в неравенство, вытекающее из раскрытия предыдущего диагонального минора детерминанта (160).

Указанное обстоятельство приводит к выводу, что условие (151) может быть выполнено только в том случае, если среди всех вторых производных, входящих в выражение (152), имеется не более чем одна отрицательная величина.

Таким образом, для определения условий оптимального рас­пределения нагрузки между s_д параллельно работающими дви­гателями необходимо:

построить нагрузочные характеристики g_ei = f (N_ei) всех вхо­дящих в установку двигателей (см. рис. 53);

методом графического дифференцирования по нагрузочным характеристикам определить величины ?_i и построить зависимости ?_i = f (N_ei) так, чтобы ось ординат для всех зависимостей была одна и та же, а шкалы мощностей всех двигателей располагались по оси абсцисс последовательно, как это показано на рис. 54.

На основании условия (150) через построенные таким образом зависимости провести горизонтальные прямые ?_i = const; точки пересечения этих прямых с зависимостями ?_i = f (N_ei) должны быть спроектированы на ось абсцисс. Проекции точек пересече­ния на ось абсцисс показывают мощности N_ei каждого двигателя при оптимальном распределении нагрузки N_е?.

В диапазоне возможного изменения нагрузки методом графи­ческого дифференцирования зависимостей ?_i = f (N_ei) следует построить зависимости д?_i /дN_ei = f (N_ei). Если среди построенных таким образом зависимостей только одна кривая располагается (полностью или частично) ниже оси абсцисс, распределение нагрузки является оптимальным.

В силовых установках параллельно работающих двигателей, особенно судового типа, наиболее часто используют одинаковые двигатели. Это облегчает наладку и обслуживание установки в процессе эксплуатации.

При качественной настройке топливоподающей аппаратуры и отладке рабочего процесса двигателей их нагрузочные характе­ристики близки одна к другой как по форме, так и по значениям удельных эффективных расходов топлива. В этом случае можно принять, что одинаковые двигатели имеют одинаковые нагрузоч­ные характеристики.

Условие экстремального распределения нагрузки (150), при­мененное к графикам, изображенным на рис. 54, показывает, что во всем диапазоне суммарных мощностей N_е? от 1600 до 400 кВт нагрузка между всеми одинаковыми двигателями должна быть распределена равномерно.

Для того чтобы такое распределение было оптимальным, не­обходимо выполнение условия (151). В точках режимов двигате­лей при равномерном распределении нагрузки и одинаковых на­грузочных характеристиках окажутся равными между собой не только величины ?_i, но и их производные по мощности. Неравен­ства (161)—(163), а также неравенства, которые можно было бы получить при раскрытии последующих диагональных миноров детерминанта (160), при одинаковых двигателях приводят к ряду простых условий:

Нетрудно заметить, что все полученные таким образом не­равенства окажутся выполненными, если выполнится первое не­равенство (164). Следовательно, при параллельной работе одинаковых двигателей условие (151) окажется выполненным только в том случае, если все производные д? / дN_ei окажутся положи­тельными.

Сделанный вывод накладывает определенные условия на ра­боту установки при сбросе суммарной нагрузки.

В левом квадранте графика (рис. 55) проведена кривая

которая показывает, что производная д? / дN_ei является положи­тельной, если мощность каждого из двигателей установки пре­вышает (в рассматриваемом примере) 190 кВт.

В правом квадранте построены прямые, указывающие связь мощности каждого из работающих двигателей N_еi с мощностью установки при равномерном распределении нагрузки. Точка А прямой 4 соответствует номинальной мощности всех параллельно работающих двигателей. При снижении суммарной мощности установки нагрузка должна быть равномерно распределена между всеми двигателями установки до тех пор, пока выполняется усло­вие

В точке В при N_е? = 750 кВт производная д? / дN_ei == 0, поэтому один из двигателей должен быть выключен из работы. После его отключения мощность оставшихся двигателей повысится до зна­чения в точке С. Выключение двигателя увеличит д? / дN_ei до зна­чения в точке С₁. При дальнейшем снижении нагрузки оставшиеся двигатели должны быть нагружены равномерно до N_ei в точке D, когда производная д? / дN_ei вновь станет равной нулю. Если появляется необходимость дальнейшего снижения N_e?, следует выключить второй двигатель, а в точке F — и третий.

Таким образом, график, изображенный в правом квадранте на рис. 55, является графиком совместной работы четырех одина­ковых двигателей при оптимальном распределении нагрузки.

В тех случаях, когда в параллельную работу включены только два двигателя, оптимальное распределение нагрузки удобно определить графическим или табличным методом.

В соответствии с этими методами по нагрузочным характери­стикам двигателей (кривые 1 и 2 на рис. 56) строятся зависимости при различных суммарных нагрузках. На рис. 56 и в табл. 1 приведены соответственно построение (кривые 3, 4 и 5) и расчет этих зависимостей для N_е?, равных 400, 500 и 550 кВт. На этот же график нанесены зеркальные отображения зависимостей

второго двигателя, поэтому значения мощности N_е2 отложены по оси абсцисс справа налево, причем суммарное значение мощ­ностей двигателей на всей оси абсцисс равняется заданной сум­марной мощности (кривые 6, 7 и 8 на рис. 56). Например, для суммарной мощности N_e? = 400 кВт координату N_e2 = 0 вы­бирают на оси абсцисс так, что N_е1 в этой точке равняется 400 кВт.

Обычным суммированием величины v₁g_e1 и v₂g_e2 иа каждой абсциссе определяют

g_e? = v₁g_e1 + v₁g_e1

и в соответствии с графиче­ским методом строят зави­симость g_eZ = f (N_e1) (кри­вые 9, 10 и 11). При N_e2 =  400 кВт минимальное значение g_e?, соответствую­щее оптимальному распре­делению нагрузки, получает­ся при N_e1 = 290 кВт и N_e2 = 110 кВт. Аналогич­но определяется оптимальное распределение нагрузки при суммарной мощности 500 и 550 кВт.

В соответствии с табличным методом суммирования v₁g_e1 и v₂g_e2 приведены в табл. 1.

Найденные g_{e? min} при различных суммарных нагрузках установки дают возможность построить график мощностей каж­дого из включенных в параллельную работу двигателей в зависи­мости от суммарной мощности установки.