В соответствии с формулами Эйлера (513) и (514)

В соответствии с принципом суперпозиции вначале достаточно рассмотреть воздействие на двигатель только одной из соста­вляющих гармонического возмущения 1/2 ?₀e^i?t или 1/2 ?₀e^-i?t.

Выбрав например, первую составляющую, дифференциальное уравнение можно представить в виде

Частное решение этого неоднородного уравнения может быть найдено в форме его правой части

Полученное выражение называется амплитудно-фазовой частот­ной характеристикой двигателя как регулируемого объекта.

Амплитудно-фазовую частотную характеристику строят на плоскости комплексного переменного в виде некоторой кривой, по которой скользит конец вектора Y_д^? при непрерывном из­менении ? от 0 до +? (рис. 214). Координаты конца вектора можно определить, если представить амплитудно-фазовую частот­ную характеристику двигателя в виде комплексного числа

Умножив и разделив левую часть полученного выражения на разность k_д — i?T_д и сопоставив полученный результат с правой частью, можно получить

называемые соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками. В соответствии с выражениями (525) и (526) вещественная и мнимая частотные характеристики двигателя по­строены на рис. 215, а и б.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (524) может быть представлена в полярных координатах, в качестве которых выбирают длину вектора А_д^? (?) — амплитуду колебаний и угол наклона вектора ?_д^? (?) — сдвиг фазы. В соответствии с графиком на рис. 214

Полученное выражение представляет собой амплитудную ча­стотную характеристику двигателя

Полученное выражение представляет собой амплитудную ча­стотную характеристику двигателя

показанную на рис. 215, в

Отношение выражений (527) определяет сдвиг фаз

Зависимость ?_д^? (?) = f_? (?) называют фазовой частотной характеристикой двигателя (рис. 215, г).

При помощи частотных характеристик (525) и (526) или (528) и (529) строят амплитудно-фазовую частотную характеристику двигателя. Для этого можно найти выражение

Полученное выражение является уравнением окружности с ра­диусом r, равным 1/(2k_д), причем центр окружности смещен по оси абсцисс от начала координат также на 1/(2k_д) (рис. 216). При изменении ? от 0 до + ? вектор Y_д^? (i?) скользит своим концом по полуокружности, расположенной справа от начала коор­динат (в четвертом квадранте), если k_д > 0 (рис. 216, а), и слева от начала координат (в третьем квадранте) при k_д < 0 (рис. 216, б). В соответствии с соотношениями Эйлера

где A_д^?(?) — модуль; у_д^? (?) — аргумент вектора Y_д^?(i?).

После подстановки выражения (531) в формулу (523) послед­няя будет иметь вид

Аналогичным путем находят частное решение уравнения (522) при воздействии второй составляющей гармонического возмущения

Таким образом, частное решение уравнения (521) при гармо­ническом возмущении запишется так:

или после приведения к тригонометрической форме

Это выражение показывает, что при гармоническом изменении входной координаты (520) в двигателе возникают вынужденные незатухающие колебания выходной координаты (534) с ампли­тудой ?₀A_д^? (?) и сдвигом фазы у_д^? (?), причем как входная, так и выходная координаты при вынужденных колебаниях системы имеют одну и ту же частоту колебаний ?.

Частотные характеристики A_д^? (?) = f_A (?) и у_д^? (?) = f_? (?) можно определять экспериментально, как это схематически по­казано на рис. 212, а. Для этого достаточно входную координату системы изменять по гармоническому закону с определенной амплитудой и задаваемой частотой (кривая 1). Замеряя установив­шиеся колебания на выходе системы (кривая 2) по амплитуде и сдвигу фазы при различных частотах колебаний входной коор­динаты, можно построить искомые амплитудную и фазовую ха­рактеристики.

Амплитудная частотная характеристика (см. рис. 215, в) сви­детельствует о том, что амплитуда колебаний угловой скорости коленчатого вала будет тем меньше, чем выше частота колебаний рейки топливного насоса. Амплитуда колебаний угловой скорости в статических условиях становится максимальной при ? = 0, т. е. когда рейка при t = +0 передвинута скачком в новое поло­жение и остается неподвижной. Точка амплитудно-фазовой частот­ной характеристики при ? = 0 соответствует новому установив­шемуся режиму работы двигателя, определяемому новым поло­жениям ?₀ рейки топливного насоса. Этот режим наступает после завершения переходного процесса при t ? +?. Угловая скорость коленчатого вала в этих условиях уже не будет изменяться во времени, поэтому (d? / dt)_t??? 0 дифференциальное уравнение двигателя при ?_д = 0 будет k_д? = ?₀, откуда ? = ?₀/k_д. Следо­вательно, при ? = ?₀ = 1,0 точка амплитудно-фазовой частотной характеристики ? = 0 (см. рис. 215, в) определяет изменение ср двигателя при ступенчатом возмущении.

Фазовая частотная характеристика (см. рис. 215, г) показы­вает, что по мере увеличения частоты со возмущающего воздей­ствия колебания угловой скорости вала двигателя все больше и больше отстают по фазе от колебаний рейки топливного насоса и при t ? ? приближается к — ?/2.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (531) дает воз­можность определить и построить логарифмические частотные характеристики элемента, которые во многих случаях оказываются более удобными в практическом применении. Для этого выраже­ние (531) следует прологарифмировать:

кривые Іn А_д^? (?) = f (ln ?) и ?_д^? (?) = f (ln ?) обычно на­зывают натуральными логарифмическими частотными характери­стиками, соответственно амплитудной и фазовой. Однако наи­более часто для построения логарифмических частотных характеристик используют десятичные логарифмы.

За единицу измерения по ординате выбирают децибел. Связь между числом децибел D_дб и самим числом М определяется фор­мулой

D_дб = 201gМ,

поэтому в качестве логарифмической амплитудной частотной характеристики элемента принимают зависимость

По оси абсцисс откладывают lg ?, причем длину отрезка, равную единице, называют декадой (lg 10 = 1). Характеристику

называют логарифмической фазовой частотной характеристикой.

Для получения логарифмических частотных характеристик двигателя без наддува в выражение (535) следует подставить формулы (528) и (529):

тогда в качестве логарифмической амплитудной частотной харак­теристики двигателя принимают зависимость

а в качестве логарифмической фазовой частотной характери­стики — зависимость

Эти характеристики показаны на рис. 217.

Форма логарифмической амплитудной частотной характеристики двигателя такова, что с достаточной степенью точности ее можно заменить двумя отрез­ками прямых АВ и ВС. Такая характеристика, составленная из отрезков прямых, называется приближенной логарифмической амплитудной частотной характе­ристикой двигателя.

Сопоставление выражений (131) и (524) показывает, что мате­матическое выражение амплитудно-фазовой частотной характе­ристики (524) легко можно получить при помощи передаточной функции (131), если в последней произвести замену

p = i?. (540)

Эта замена соответствует наличию среди корней характеристи­ческого уравнения чисто мнимого корня, что определяет появле­ние у исследуемого элемента гармонических колебаний выходной координаты с постоянной амплитудой.

Динамические свойства дизеля с автономным газотурбинным наддувом характеризуются дифференциальным уравнением второго порядка (114), а передаточная функция (120) такого элемента имеет вид

C помощью подстановки (540) можно получить формулу амплитудно-фазовой частотной характеристики двигателя с газотурбинным наддувом

Для определения вещественной и мнимой частотных характеристик формулу (542) следует умножить и разделить на разность (k_дн – ?²T_д²₂) – i?T_д1, после чего

Вещественная частотная характеристика (рис. 218, а) при ? = 0 имеет значение

и, следовательно, определяет изменение выходной координаты двигателя в результате переходного процесса после ступенчатого единичного возмущения

Если выполняется условие х_д.н^? (?) = 0 или.

вещественная частотная характеристика пересекает ось абсцисс (кривая 4). При определенных соотношениях параметров харак­теристика может иметь либо два экстремума (при ?₁ и ?₂), либо один (кривая 3 или 2) или ни одного (кривая 1).

Мнимая частотная характеристика (рис. 218, б) имеет нулевое значение при ? = 0 и по мере роста ? может проходить два (кривая 4) или один (кривые 1, 2, 3) экстремум (например, при ? = ?₄ для кривой 4). Ось абсцисс пересекается при выполнении условия у_{д. н} ^?(?) = 0, или

Зная вещественную (543) и мнимую (544) частотные характе­ристики, с помощью соотношений

можно определить фазовую (рис. 218, в) и амплитудную (рис. 218, г) частотные характеристики:

С помощью частотных характеристик (543) и (544) или (546) и (547) можно построить амплитудно-фазовые частотные характе­ристики, показанные на рис. 219.